6. Zadatak

Danu jednakost možemo zapisati u obliku

$$2^{3a\sin^2x}=2^{2+\cos^2x},$$

odakle slijedi $3a\sin^2x=2+\cos^2x$. Sada je $3a\sin^2x=3-\sin^2x$, odnosno

$$\sin^2x=\frac3{3a+1}.$$

Kako je $\sin^2(-x)=\sin^2x$, $\left|\sin\left(-\frac\pi6\right)\right|=\left|\sin\frac\pi6\right|=\frac12$ i $\sin\frac{2\pi}3=\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}$, promatrajući graf

zaključujemo da će rješenje dane jednadžbe u intervalu $\left[-\frac\pi6,\frac{2\pi}3\right]$ biti jedinstveno ako i samo ako je $\sin x$ u skupu

$$\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)\cup\{1\}.$$

Sada lagano zaključujemo da mora biti

$$\frac14<\frac3{3a+1}<\frac34\qquad\text{ili}\qquad\frac3{3a+1}=1,$$

odakle dobivamo

$$1<a<\frac{11}{3}\qquad\text{ili}\qquad a=\frac23.$$