8. Zadatak

Prvo rješenje.

Najprije utvrdimo koliko je brojeva bez ijedne znamenke 1 među brojevima od 1 do 999. Takvi brojevi zapisani su znamenkama 0, 2, 3, $\ldots$, 9. Jednoznamenkastih je 8, dvoznamenkastih $8\cdot9=72$, a troznamenkastih $8\cdot9\cdot9=648$. Ukupno ih je $9^3-1$, tj. 728.

Svi brojevi između 1000 i 1999 imaju znamenku 1, pa za $N$, $1000\le N<2000$, među brojevima od 1 do $N$ postoji 728 onih koji nemaju znamenku 1 u dekadskom zapisu.

Sada iz uvjeta $728=\frac12N$ slijedi $N=1456$.

Drugo rješenje.

Od devet jednoznamenkastih brojeva (od 1 do 9) samo 1 ima znamenku jedan, a preostalih 8 ih nema znamenku jedan.

Od 90 dvoznamenkastih brojeva (od 10 do 99) njih 18 (10, 11, $\ldots$, 19, 21, 31, $\ldots$, 91) ima (barem jednu) znamenku 1, dok preostalih $90-18=72$ nema.

To znači da se među brojevima od 1 do 99 nalazi 19 onih koji imaju znamenku 1.

Isto vrijedi i za brojeve od 200 do 299, za brojeve od 300 do 399, $\ldots$, te za brojeve od 900 do 999. U svakoj od tih skupina je 19 brojeva sa znamenkom 1 i 81 broj bez znamenke 1.

Svi brojevi između 100 i 199 imaju znamenku 1, pa je ukupan broj troznamenkastih brojeva sa znamenkom 1 jednak $100+8\cdot19=252$, a broj troznamenkastih brojeva bez znamenke 1 jednak je $8\cdot81=900-252=648$.

Sveukupno, među brojevima od 1 do 999 postoji ukupno $1+18+252=271$ brojeva sa znamenkom 1 i $8+72+648=728$ brojeva bez znamenke 1.

Slijedi 1000 brojeva sa znamenkom 1, pa samo treba odrediti nakon koliko njih će se izjednačiti broj onih koji imaju znamenku 1 i onih koji nemaju. Iz $271+x=728$ slijedi $x=457$, što znači da trebamo još 457 brojeva nakon broja 999.

To su brojevi $1000,1001,\ldots,1456$. Među brojevima od 1 do 1456 ima jednako onih s barem jednom znamenkom 1 i onih koji nemaju nijednu znamenku 1, tj. traženi broj je $N=1456$.