7. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $|BC|=a$, $|AC|=b$, $|AB|=c$, $\angle ABC=\beta$ i neka je $r$ polumjer trokutu $ABC$ upisane kružnice. Vrijedi

$$P(ABC)=\frac12r(a+b+c)=\frac12ac\sin\beta. \tag{*}$$

Kako je $\cos\beta=\frac45$, vrijedi $\sin\beta=\frac35$, pa zbog $a=6$ iz jednakosti (*) dobivamo

$$1\cdot(6+b+c)=6\cdot c\cdot\frac35,$$

tj. $b+6=\frac{13}{5}c$.

Prema poučku o kosinusu vrijedi

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta=36+c^2-\frac{48}{5}c.$$

Iz zadnje dvije jednakosti dobivamo

$$c=b=\frac{15}{4}.$$

Drugo rješenje.

Označimo duljine stranica s $a,b,c$, kutove trokuta s $\alpha,\beta,\gamma$ i polumjer upisane kružnice s $r$. Neka je $P$ diralište upisane kružnice sa stranicom $BC$.

Kako je $\cos\beta=\frac45$, to je $\sin\beta=\frac35$. Zato vrijedi

$$\tan\frac\beta2=\frac{1-\cos\beta}{\sin\beta}=\frac{1-\frac45}{\frac35}=\frac13.$$

Iz pravokutnog trokuta $BPS$ imamo $|BP|=r\cot\frac\beta2$, pa je

$$|BP|=1\cdot\left(\frac13\right)^{-1}=3.$$

Zato je i $|CP|=|BC|-|BP|=6-3=3$. Sada slijedi (npr. zbog sukladnosti trokuta $BPS$ i $CPS$) da su kutovi $\angle ABC$ i $\angle ACB$ sukladni, tj. trokut $ABC$ je jednakokračan i vrijedi $b=c$.

Zato je

$$\sin\alpha=\sin(180^\circ-2\beta)=\sin2\beta=2\sin\beta\cos\beta=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25},$$

pa iz poučka o sinusima dobivamo

$$b=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\,a=\frac{\frac35}{\frac{24}{25}}\cdot6=\frac{15}{4}.$$

Dakle, $|AB|=|AC|=\frac{15}{4}$.