3. Zadatak

Rješenje 1. Primjenom formule za razliku kubova dobivamo:

$$2030^{12}-2020^{12} =(2030^4)^3-(2020^4)^3 =(2030^4-2020^4)(2030^8+2030^4\cdot2020^4+2020^8).$$

Nadalje, primjenom formule za razliku kvadrata slijedi:

$$2030^4-2020^4=(2030^2-2020^2)(2030^2+2020^2)$$ $$=(2030-2020)(2030+2020)(2030^2+2020^2) =10\cdot4050\cdot(2030^2+2020^2).$$

Kako je $4050=2\cdot2025$ zadana tvrdnja je dokazana.

Rješenje 2. Primijenimo formulu:

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}).$$

Uvrstimo li $n=6$, $a=2030^2$ i $b=2020^2$ u gornju formulu i raspišemo li razliku kvadrata dobivamo:

$$\begin{aligned} (2030^2)^6-(2020^2)^6=(2030^2-2020^2)\big[&(2030^2)^5+(2030^2)^4\cdot2020^2\\ &+(2030^2)^3(2020^2)^2+(2030^2)^2(2020^2)^3\\ &+2030^2(2020^2)^4+(2020^2)^5\big]. \end{aligned}$$

Pa imamo da je

$$\begin{aligned} (2030^2)^6-(2020^2)^6={}&(2030-2020)(2030+2020)\big(2030^{10}+2030^8\cdot2020^2\\ &+2030^6\cdot2020^4+2030^4\cdot2020^6+2030^2\cdot2020^8+2020^{10}\big)\\ ={}&10\cdot4050\cdot x. \end{aligned}$$

Kako je $4050=2\cdot2025$ zadana tvrdnja je dokazana.

Rješenje 3. Zadatak se može riješiti korištenjem modularne aritmetike. Uočimo da vrijedi:

$$2030\equiv5\pmod{2025}, \qquad 2020\equiv-5\pmod{2025},$$

pri čemu se koristi činjenica da su brojevi $2030$ i $2020$ za $5$ veći, odnosno manji od višekratnika broja $2025$.

Zatim imamo da je

$$2030^{12}\equiv5^{12}\pmod{2025}, \qquad 2020^{12}\equiv(-5)^{12}\pmod{2025}.$$

S obzirom da je eksponent paran broj, vrijedi da je $(-5)^{12}=5^{12}$.

Promotrimo razliku:

$$2030^{12}-2020^{12}\equiv5^{12}-5^{12}=0\pmod{2025},$$

čime smo pokazali da je dani izraz djeljiv s brojem $2025$.