2. Zadatak

Kvadriranjem izraza $a^2+b^2$ dobivamo:

$$(a^2+b^2)^2=a^4+2a^2b^2+b^4=a^4+b^4+2a^2b^2.$$

Uvrštavanjem zadanih uvjeta slijedi:

$$10^2=82+2a^2b^2,$$

odnosno

$$a^2b^2=9.$$

Zbog pozitivnosti brojeva $a$ i $b$ slijedi da je $ab=3$.

Kvadriranjem izraza $a+b$ dobivamo:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+b^2+2ab=10+2\cdot3=16,$$

pa zbog pozitivnosti brojeva $a$ i $b$ slijedi da je $a+b=4$.

Sada imamo:

$$\frac1{a^3}+\frac1{b^3} =\frac{a^3+b^3}{a^3b^3} =\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(ab)^3} =\frac{4\cdot(10-3)}{3^3} =\frac{4\cdot7}{27} =\frac{28}{27}.$$