6. Zadatak

Koliko ima brojeva u skupu $S=\{1,2,\ldots,300\}$ koji nisu djeljivi ni s jednim od brojeva $3$ , $5$ i $7$ ?

Rješenje

Rješenje 1.

Označimo s $k(A)$ broj elemenata skupa $A$ . Očito je $k(S)=300$ . Nadalje, označimo s $A_3$ , $A_5$ i $A_7$ skupove onih brojeva iz $S$ koji su djeljivi redom s $3$ , $5$ i $7$ .

Svaki treći broj iz skupa $S$ djeljiv je s $3$ . Stoga, elemenata u skupu $A_3$ ima $k(A_3)=\frac{300}{3}=100$ .

Analogno dobivamo da je $k(A_5)=\frac{300}{5}=60$ .

Nadalje, s obzirom da je $\frac{300}{7}=42.857$ , možemo zaključiti da u skupu $S$ postoje točno $42$ broja djeljiva s $7$ , odnosno $k(A_7)=42$ .

Svaki petnaesti broj iz skupa $S$ je djeljiv istovremeno s $3$ i $5$ . Stoga je $k(A_3\cap A_5)=\frac{300}{15}=20$ .

Analogno dolazimo do zaključka da je broj elemenata iz $S$ koji su djeljivi s $3$ i $7$ jednak $\frac{300}{21}=14.286$ , pa je $k(A_3\cap A_7)=14$ .

Broj elemenata iz $S$ koji su djeljivi s $5$ i $7$ jednak je $\frac{300}{35}=8.571$ , odakle slijedi da je $k(A_5\cap A_7)=8$ .

Promotrimo sada skup $A_3\cap A_5\cap A_7$ , odnosno skup elemenata iz $S$ koji su djeljivi s $3$ , $5$ i $7$ . Taj skup ima samo dva elementa, a to je broj $3\cdot5\cdot7=105$ i broj $210$ , pa je $k(A_3\cap A_5\cap A_7)=2$ .

Primjenom formule uključivanja i isključivanja dobivamo:

\begin{aligned} k(A_3\cup A_5\cup A_7)={}&k(A_3)+k(A_5)+k(A_7)-k(A_3\cap A_5)\\ &-k(A_3\cap A_7)-k(A_5\cap A_7)+k(A_3\cap A_5\cap A_7), \end{aligned}

pa je $k(A_3\cup A_5\cup A_7)=100+60+42-20-14-8+2=162$ . Drugim riječima $162$ broja iz skupa $S$ djeljiva su s barem jednim od brojeva $3$ , $5$ ili $7$ .

Konačno, brojeva iz skupa $S$ koji nisu djeljivi s niti jednim od brojeva $3$ , $5$ i $7$ ima $k(S)-k(A_3\cup A_5\cup A_7)=300-162=138$ .

Rješenje 2.

Kao i u prvom rješenju označimo s $A_3$ , $A_5$ i $A_7$ skupove onih brojeva iz $S$ koji su djeljivi redom s $3$ , $5$ i $7$ te prikažimo broj elemenata tih skupova pomoću Vennovog dijagrama.

Analognim postupkom kao i u prvom rješenju zaključujemo da se:

u skupu $A_3$ nalazi $100$ brojeva,
u skupu $A_5$ nalazi $60$ brojeva,
u skupu $A_7$ nalaze $42$ broja,
u skupu $A_3\cap A_5$ nalazi $20$ brojeva,
u skupu $A_3\cap A_7$ nalazi $14$ brojeva,
u skupu $A_5\cap A_7$ nalazi $8$ brojeva,
u skupu $A_3\cap A_5\cap A_7$ nalaze $2$ broja.

Temeljem ovih podataka konstruiramo Vennov dijagram kao na sljedećoj slici:

Vennov dijagram skupova brojeva djeljivih s tri, pet i sedam

Temeljem Vennovog dijagrama zaključujemo da brojeva iz skupa $S$ koji nisu djeljivi s niti jednim od brojeva $3$ , $5$ i $7$ ima $300-68-34-22-18-12-6-2=138$ .