5. Zadatak

Rješenje 1.

Uočimo da vrijedi:

$$2^n+2^{n+1}+2^{n+2}+2^{n+3}=2^n(1+2+4+8)=2^n\cdot15=2^{n-1}\cdot3\cdot10,$$

za sve $n\geq1$.

Kako je broj $2^n+2^{n+1}+2^{n+2}+2^{n+3}$ djeljiv s $10$, njegova zadnja znamenka je $0$.

Prema tome, grupiranjem po četiri odgovarajuća pribrojnika, polazni zbroj poprima oblik:

$$1+2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{2025}=1+10\cdot m+2^{2025}.$$

Iz ovoga zaključujemo da zadnja znamenka zadanog broja ovisi o zadnjoj znamenki broja $2^{2025}=2\cdot2^{2024}=2\cdot(2^4)^{506}$.

Uočimo da je $2^4=16=10+6$. Kvadriranjem slijedi $(2^4)^2=100+120+36=250+6$, pa zaključujemo da vrijedi:

$$(2^4)^{2n}=10\cdot k+6.$$

Sada je $2\cdot(2^4)^{506}=2(10\cdot k+6)=20\cdot k+12$, pa je zadnja znamenka broja $2^{2025}$ jednaka $2$.

Kako je polazni zbroj oblika $1+10\cdot m+2^{2025}$, zaključujemo da je njegova zadnja znamenka $1+2=3$.

Rješenje 2.

Uočimo da vrijedi

$$2^{2026}-1=(2-1)(1+2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{2025}),$$

odnosno

$$1+2^1+2^2+2^3+\cdots+2^{2025}=2^{2026}-1.$$

Uočimo da je $2^{2026}=4\cdot2^{2024}=4\cdot(2^4)^{506}$.

Na isti način kao i u prvom rješenju zaključujemo da je $(2^4)^{2n}=10\cdot k+6$, pa slijedi

$$4\cdot(2^4)^{506}=4(10\cdot k+6)=40\cdot k+24$$

te je zadnja znamenka broja $2^{2026}$ jednaka $4$.

Zadnja znamenka broja $2^{2026}-1$, odnosno polaznog zbroja, jednaka je $4-1=3$.