4. Zadatak

Rješenje 1. Promotrimo sliku:

Središte svakom pravokutnom trokutu opisane kružnice nalazi se u polovištu hipotenuze (točka $S$), pa je trokut $\triangle ASC$ je jednakokračan ($|AS|=|SC|$).

U jednakokračnom trokutu $\triangle ASC$ jedan je kut uz osnovicu mjere $60^\circ$, iz čega slijedi da su mu svi unutarnji kutovi sukladni te je $\triangle ASC$ jednakostraničan trokut.

Kako je $|AS|=|AC|=3$ cm, onda je duljina hipotenuze $c=6$ cm, te primjenom Pitagorinog poučka možemo odrediti duljinu duže katete trokuta $\triangle ABC$. Slijedi $a^2=c^2-b^2=36-9=27$, pa je $a=3\sqrt3$ cm.

Trokut $\triangle SDC$ je jednakokračan jer vrijedi da je $|\angle DSC|=|\angle SCD|=90^\circ-60^\circ=30^\circ$. Pa slijedi da je $|CD|=|SD|$, te $|\angle CDS|=120^\circ$.

Označimo s $P$ polovište dužine $BD$. Trokut $\triangle SPD$ je jednakostraničan jer je trokut $\triangle SBD$ pravokutan pa je $|SP|=|DP|=|PB|$, te je u trokutu $\triangle SPD$ mjera kuta uz osnovicu jednaka $|\angle SDP|=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ što zapravo znači da su mu svi unutarnji kutevi sukladni. Pa imamo da je $|SD|=|DP|$.

Kako je $|SD|=|CD|=|DP|=|PB|$ to je $|SD|=\frac13|BC|=\frac a3=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3$ cm.

Rješenje 2.

Na isti način kao i u 1. rješenju možemo zaključiti da je trokut $\triangle ASC$ jednakostraničan, odakle slijedi da je $|AC|=|AS|=|SB|=3$ cm.

Promotrimo pravokutan trokut $\triangle SBD$ (mjere njegovih unutrašnjih kutova su $30^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$).

Primjenjujući svojstva pravokutnog trokuta (odnosno trigonometrijski omjer) na taj trokut dobivamo da je $\frac{|SD|}{|SB|}=\operatorname{tg}30^\circ$, pri čemu je $\operatorname{tg}30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$.

Stoga, vrijedi da je $|SD|=3\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\sqrt3$ cm.

Rješenje 3.

Promotrimo pravokutan trokut $\triangle SBD$ (mjere njegovih unutrašnjih kutova su $30^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$).

Taj trokut možemo nadopuniti do jednakostraničnog trokuta $\triangle DD'B$ kao na slici.

$\overline{SB}$ je visina trokuta $\triangle DD'B$ i njezina duljina iznosi $3$ cm (do zaključka se može doći kao u rješenju 1 ili primjenom trigonometrijskih omjera u pravokutnom trokutu $\triangle ABC$).

Duljinu stranice jednakostraničnog trokuta $\triangle DD'B$ možemo izraziti pomoću duljine visine tog trokuta, odnosno $|SB|=\frac{|DD'|\cdot\sqrt3}{2}$, odakle slijedi da je $\frac{2\cdot|SD|\cdot\sqrt3}{2}=3$ pa je $|SD|=\sqrt3$ cm.

Rješenje 4.

Uočimo da su trokuti $\triangle ABC$ i $\triangle SBD$ slični (sukladni su im kutevi), pa vrijedi

$$|SD|:|AC|=|SB|:|CB| \qquad (*)$$

Duljinu stranice $\overline{SB}$ moguće je izračunati na jedan od spomenutih načina u prethodnim varijantama rješenja, npr. $\cos60^\circ=\frac{|AC|}{2|SB|}$, pa je $|SB|=3$ cm.

Duljinu stranice $\overline{CB}$ u trokutu $\triangle ABC$ moguće je izračunati na nekoliko načina:

• primjenom Pitagorinog poučka (odnosno $|CB|=\sqrt{|AB|^2-|AC|^2}=3\sqrt3$ cm),
• primjenom trigonometrijskih omjera (npr. $|CB|=|AC|\cdot\operatorname{tg}60^\circ=3\sqrt3$ cm),
• uočavanjem da se trokut $\triangle ABC$ može nadopuniti do jednakostaničnog trokuta kojemu je $\overline{CB}$ visina, pa je $|CB|=\frac{2\cdot|AC|\cdot\sqrt3}{2}=3\sqrt3$ cm.

Uvrštavanjem svih poznatih vrijednosti u $(*)$ dobivamo da je

$$|SD|=\frac{|SB||AC|}{|CB|}=\sqrt3\ \text{cm}.$$