6. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $c=|AB|=|CD|$, te $\alpha=\angle BAC$ i $\gamma=\angle ACB$.

Tada je $\angle CAD=\angle BAD=\frac\alpha2$ te $\angle BDA=\frac\alpha2+\gamma$.

Primjenom poučka o sinusima na trokute $ADC$ i $ABD$ dobivamo

$$\frac{\sin\gamma}{\sin\frac\alpha2}=\frac{|AD|}{c}, \qquad \frac{\sin2\gamma}{\sin\left(\frac\alpha2+\gamma\right)}=\frac{|AD|}{c}.$$

Dalje imamo

$$\begin{aligned} \sin\gamma\sin\left(\frac\alpha2+\gamma\right)&=\sin2\gamma\sin\frac\alpha2,\\ \sin\gamma\sin\left(\frac\alpha2+\gamma\right)&=2\sin\gamma\cos\gamma\sin\frac\alpha2,\\ \sin\left(\frac\alpha2+\gamma\right)&=2\cos\gamma\sin\frac\alpha2,\\ \sin\frac\alpha2\cos\gamma+\cos\frac\alpha2\sin\gamma&=2\cos\gamma\sin\frac\alpha2,\\ \cos\frac\alpha2\sin\gamma&=\sin\frac\alpha2\cos\gamma,\\ \operatorname{tg}\gamma&=\operatorname{tg}\frac\alpha2. \end{aligned}$$

Budući da su $\alpha$ i $\gamma$ kutovi trokuta, jedina mogućnost je $\gamma=\frac\alpha2$.

Vrijedi $\alpha+3\gamma=180^\circ$, pa je $\alpha=\frac25\cdot180^\circ=72^\circ$.

Drugo rješenje.

Neka je $E$ sjecište simetrale kuta $\angle ABC$ i stranice $AC$.

Zbog uvjeta $\beta=2\gamma$, trokuti $ABC$ i $AEB$ su slični. Zato je $|AB|:|AC|=|AE|:|AB|$.

Prema poučku o simetrali kuta vrijedi $|AE|=\frac{bc}{a+c}$.

Slijedi $c:b=\frac{bc}{a+c}:c$, odnosno $b^2=ac+c^2$.

Prema poučku o simetrali kuta vrijedi $|DC|=\frac{ab}{b+c}$, pa zbog uvjeta $|CD|=|AB|=c$ vrijedi

$$c^2=ab-bc.$$

Zbrajanjem ove jednakosti s $b^2=ac+c^2$ dobivamo

$$\begin{aligned} b^2+c^2&=ac+c^2+ab-bc,\\ b^2+bc&=ac+ab,\\ b(b+c)&=a(b+c). \end{aligned}$$

Slijedi $a=b$, te $\alpha=\beta=2\gamma$.

Iz $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ dobivamo da su kutovi $\alpha=72^\circ$, $\beta=72^\circ$, $\gamma=36^\circ$.