5. Zadatak

Prvo rješenje.

Rastav broja $250$ na proste faktore glasi $250=2\cdot5^3$.

Ako uzmemo sve brojeve koji nisu djeljivi s $5$ i neka dva broja koja su djeljiva s $5$, ali ne i s $25$ (npr. $5$ i $10$), dobit ćemo umnožak koji nije djeljiv s $250$.

Dakle, možemo uzeti barem $802$ brojeva.

Ako uzmemo barem $803$ brojeva, onda među njima ima barem $3$ broja koja su djeljiva s $5$ i barem jedan koji je paran, pa dobivamo umnožak koji je djeljiv s $250$.

Drugo rješenje.

Rastav broja $250$ na proste faktore glasi $250=2\cdot5^3$.

Da umnožak ne bi bio djeljiv s $250$ možemo uzeti ili sve neparne brojeve ili možemo uzeti sve brojeve koji nisu djeljivi s $5$ te još najviše dva broja koja jesu djeljiva s $5$.

U prvom slučaju bismo uzeli najviše $500$ brojeva, a u drugom slučaju možemo uzeti najviše $802$ broja: ima $800$ brojeva koji nisu djeljivi s $5$ i možemo uzeti još npr. brojeve $5$ i $10$.

Dakle, najveći mogući broj pomnoženih brojeva je $802$.