4. Zadatak

Neka je $x=\log_{4a}(40\sqrt3)=\log_{3a}45$. Tada je $(4a)^x=40\sqrt3$ i $(3a)^x=45$.

Dijeljenjem ovih izraza dobivamo

$$\frac{(4a)^x}{(3a)^x}=\frac{40\sqrt3}{45}, \qquad \left(\frac43\right)^x=\frac{8\sqrt3}{9}, \qquad \left(\frac2{\sqrt3}\right)^{2x}=\left(\frac2{\sqrt3}\right)^3.$$

Dakle, $2x=3$, tj. $x=\frac32$.

Imamo $(3a)^{\frac32}=45$, pa je $a^3=\frac{45^2}{3^3}=75$.

Napomena: Prelaskom na logaritme s bazom $10$ i primjenom svojstava logaritama dobivamo

$$\log a=\frac{\log4\cdot\log45-\log3\cdot\log(40\sqrt3)}{\log(40\sqrt3)-\log45}.$$

Odavde slijedi $10^{3\log a}=75$.