4. Zadatak

Prvo rješenje.

Kutovi u vrhovima pravilnog peterokuta iznose $108^\circ$. Stoga je

$$\angle FDC=\angle DCF=180^\circ-108^\circ=72^\circ,$$

pa je

$$\angle EFB=\angle DFC=180^\circ-2\cdot72^\circ=36^\circ.$$

Trokut $DCF$ je jednakokračan i vrijedi $|DF|=|FC|$. Budući je $|ED|=|BC|$, vrijedi

$$|EF|=|ED|+|DF|=|BC|+|CF|=|BF|.$$

Dakle, trokut $BEF$ je jednakokračan pa je

$$\angle FEB=\angle FBE=\frac12(180^\circ-\angle EFB)=72^\circ.$$

Kutovi trokuta $BEF$ su $\angle BEF=\angle EBF=72^\circ$ i $\angle BFE=36^\circ$.

Drugo rješenje.

Kutovi u vrhovima pravilnog peterokuta iznose $108^\circ$. Stoga u jednakokračnom trokutu $AEB$ imamo

$$\angle ABE=\angle AEB=36^\circ,$$

pa je

$$\angle EBF=\angle ABF-\angle ABE=108^\circ-36^\circ=72^\circ$$

i analogno $\angle BEF=72^\circ$. Treći kut u trokutu $BEF$ iznosi

$$180^\circ-2\cdot72^\circ=36^\circ.$$