8. Zadatak

Ako su $p$ i $q$ prosti i $a$ cijeli broj za koji vrijedi $a^4=pa^3+q$, onda je $a^3(a-p)=q$, te zaključujemo da $a^3$ dijeli $q$.

Posebno, $a$ dijeli $q$, a $q$ je prost broj, stoga $a$ može biti samo $1$, $-1$, $q$ ili $-q$.

Budući da $a^3\mid q$, $a$ ne može biti $q$ niti $-q$, što znači da je $a=1$ ili $a=-1$.

Ako je $a=1$, onda je $1-p=q$, no takvi prosti brojevi ne postoje. U ovom slučaju nema rješenja.

Ako je $a=-1$, slijedi $-(-1-p)=q$, odnosno $1+p=q$.

Dakle, točno jedan od prostih brojeva $p$ i $q$ je paran, tj. jednak 2 pa lako zaključujemo da mora biti $p=2$ i $q=3$.