3. Zadatak

Prvo rješenje.

Vrijedi

$$ab=\frac12\big((a+b)^2-(a^2+b^2)\big)=\frac12(4^2-14)=1.$$

Sada je

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)((a^2+b^2)-ab)=4(14-1)=52.$$

Drugo rješenje.

Riješimo sustav jednadžbi $a+b=4,\;a^2+b^2=14$.

$$\begin{aligned} a^2+(4-a)^2&=14,\\ a^2-4a+1&=0,\\ (a-2)^2&=3. \end{aligned}$$

Odavde je $a-2=\pm\sqrt3$. Rješenja sustava su

$$(a,b)=(2+\sqrt3,2-\sqrt3)\quad\text{i}\quad(a,b)=(2-\sqrt3,2+\sqrt3).$$

U oba slučaja je

$$\begin{aligned} a^3+b^3 &=(2+\sqrt3)^3+(2-\sqrt3)^3\\ &=\big(2^3+3\cdot2^2\sqrt3+3\cdot2(\sqrt3)^2+(\sqrt3)^3\big)\\ &\quad+\big(2^3-3\cdot2^2\sqrt3+3\cdot2(\sqrt3)^2-(\sqrt3)^3\big)\\ &=2\cdot8+2\cdot3\cdot2(\sqrt3)^2=52. \end{aligned}$$