6. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $ABC$ jednakokračan trokut takav da je $|BC|=a$ i $|AB|=|AC|=b$. Neka je $O$ središte tom trokutu opisane kružnice, a $P$ polovište dužine $BC$. Budući da je trokut $ABC$ jednakokračan, točka $O$ leži na pravcu $AP$. Označimo $|OP|=x$.

Iz pravokutnog trokuta $APC$ dobivamo

$$\left(\frac a2\right)^2+(R+x)^2=b^2,$$

a iz trokuta $OPC$

$$\left(\frac a2\right)^2+x^2=R^2.$$

Riješimo dobiveni sustav:

$$\begin{cases} \left(\dfrac a2\right)^2+(R+x)^2=b^2,\\ \left(\dfrac a2\right)^2+x^2=R^2. \end{cases}$$ $$\begin{cases} \dfrac14a^2+R^2+2Rx+x^2=b^2,\\ \dfrac14a^2+x^2=R^2. \end{cases}$$

Oduzimanjem dobivamo $2R^2+2Rx=b^2$, odnosno

$$x=\frac{b^2}{2R}-R.$$

Uvrštavanjem u $a^2+4x^2=4R^2$ dobivamo

$$a^2+4\left(\frac{b^2}{2R}-R\right)^2=4R^2,$$

odakle slijedi

$$a^2+\frac{b^4}{R^2}=4b^2$$

i željena jednakost.

U slučaju pravokutnog trokuta vrijedi $a=b\sqrt2$ i $R=\frac12a=\frac12b\sqrt2$, pa je

$$a^2R^2+b^4=2b^2\cdot\frac12b^2+b^4=2b^4=4b^2\cdot\frac12b^2=4b^2R^2.$$

Drugo rješenje.

Koristeći formulu za površinu trokuta $P=\frac{abc}{4R}$ zadatak se rješava vrlo jednostavno.

Duljina visine trokuta je, zbog Pitagorinog poučka,

$$v=\sqrt{b^2-\left(\frac a2\right)^2},$$

pa je njegova površina

$$P=\frac{av}{2}=\frac12\cdot a\cdot\sqrt{b^2-\left(\frac a2\right)^2}=\frac a4\sqrt{4b^2-a^2}.$$

S druge strane, koristeći spomenutu formulu za površinu dobivamo

$$P=\frac{ab^2}{4R}.$$

Slijedi

$$\frac a4\sqrt{4b^2-a^2}=\frac{ab^2}{4R},$$

odakle dobivamo $4b^2R^2-a^2R^2=b^4$ što je ekvivalentno željenoj jednakosti.