3. Zadatak

Prvo rješenje.

Primijetimo da se zapravo treba dokazati da barem jedan od brojeva

$$\frac{a+b-c}{a+b}=1-\frac{c}{a+b},\qquad \frac{b+c-a}{b+c}=1-\frac{a}{b+c},\qquad \frac{c+a-b}{c+a}=1-\frac{b}{c+a}$$

pripada intervalu $\langle\frac12,1\rangle$ i da barem jedan od tih brojeva ne pripada tom intervalu. Odnosno, da barem jedan od brojeva

$$\frac{c}{a+b},\qquad\frac{a}{b+c},\qquad\frac{b}{c+a}$$

pripada intervalu $\langle0,\frac12\rangle$ i da barem jedan od tih brojeva ne pripada tom intervalu.

Brojevi $a$, $b$ i $c$ su pozitivni realni brojevi pa su sva tri navedena broja pozitivna, tj. veća od $0$.

Pretpostavimo li da su sva tri broja veća od ili jednaka $\frac12$, to znači da je

$$2c\ge a+b,\qquad 2a\ge b+c,\qquad 2b\ge c+a.$$

Zbrajanjem ovih nejednakosti imamo $2(c+a+b)\ge2(a+b+c)$, a to je moguće jedino ako vrijedi jednakost, što znači da je

$$\frac{c}{a+b}=\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac12.$$

Međutim, ovo daje $a=b=c$, što nije moguće prema uvjetu zadatka. Dakle, barem jedan od navedenih razlomaka je manji od $\frac12$.

Slično, pretpostavimo li da su svi razlomci manji od $\frac12$, odmah dolazimo do kontradikcije jer bi tada moralo biti

$$2(c+a+b)<2(a+b+c),$$

što je nemoguće. Dakle, barem jedan od razlomaka je veći od ili jednak $\frac12$.

Drugo rješenje.

Kao i u prvom rješenju zaključujemo da zapravo treba dokazati da barem jedan od brojeva

$$\frac{c}{a+b},\qquad\frac{a}{b+c},\qquad\frac{b}{c+a}$$

pripada intervalu $\langle0,\frac12\rangle$ i da barem jedan od tih brojeva ne pripada tom intervalu.

Brojevi $a$, $b$ i $c$ su pozitivni realni brojevi pa su sva tri navedena broja pozitivna, tj. veća od $0$.

Brojevi $a$, $b$ i $c$ su međusobno različiti, a razlomci koje promatramo su simetrični u varijablama $a$, $b$ i $c$, stoga smijemo pretpostaviti uređaj među brojevima $a$, $b$ i $c$. Pretpostavimo da je $a<b<c$.

Tada je

$$\frac{a}{b+c}<\frac{a}{a+a}=\frac12.$$

Također je i

$$\frac{c}{a+b}>\frac{c}{c+c}=\frac12.$$