5. Zadatak
Dano je 599 žutih i 301 plava kuglica. Može li se te kuglice poredati u niz tako da je broj kuglica između bilo koje dvije plave kuglice različit od 2 i od 5?
Rješenje
Prvo rješenje.
Odgovor je ne.
U nizu brojeva od 1 do 900, promotrimo 300 disjunktnih grupa pozicija
za .
Budući da imamo 301 plavu kuglicu, prema Dirichletovom principu, u jednoj grupi će se sigurno nalaziti pozicije barem dviju plavih kuglica. Te dvije kuglice će između sebe imati dvije ili pet drugih kuglica.
Drugo rješenje.
Ne može, tj. kako god poredali kuglice uvijek će postojati dvije plave između kojih se nalaze točno 2 ili točno 5 drugih kuglica.
Označimo kuglice brojevima . Ono što moramo dokazati je da postoje dvije plave kuglice oznaka i tako da vrijedi
Budući da je dana 301 plava kuglica, prema Dirichletovom principu oznake barem 101 plave kuglice daju isti ostatak pri dijeljenju s 3.
Tvrdimo da među tom 101 plavom kuglicom postoje dvije kuglice oznaka i tako da vrijedi ili . Pretpostavimo li suprotno, za oznake i bilo kojih dviju (među tom 101 kuglicom) vrijedi , jer i daju isti ostatak pri dijeljenju s 3.
Tada bi među tom 101 plavom kuglicom bilo točno 100 parova uzastopnih kuglica, što znači da je najveća oznaka među tom 101 kuglicom barem
što je kontradikcija.