2. Zadatak

Prvo rješenje.

Pomnožimo danu jednakost s $4$:

$$4n^2-24n=4m^2+4m-40,$$

te grupirajmo izraze na lijevoj i desnoj strani:

$$(4n^2-24n+36)-36=(4m^2+4m+1)-41,$$

tako da možemo uočiti potpune kvadrate:

$$(2n-6)^2+5=(2m+1)^2.$$

Prebacimo li konstantu na jednu stranu te primijenimo formulu za razliku kvadrata, dobivamo

$$5=(2m+1-2n+6)(2m+1+2n-6) =(2m-2n+7)(2m+2n-5).$$

Sada možemo promotriti četiri linearna sustava dviju jednadžbi s varijablama $m$ i $n$, jer broj $5$ možemo prikazati kao umnožak cijelih brojeva na četiri načina: $1\cdot5$, $5\cdot1$, $(-1)\cdot(-5)$ i $(-5)\cdot(-1)$.

Ako je

$$2m-2n+7=a,\qquad 2m+2n-5=b,$$

rješenje tog sustava je

$$m=\frac{a+b-2}{4},\qquad n=\frac{b-a+12}{4}.$$

Uvrštavanjem mogućnosti $(a,b)=(1,5),(5,1),(-1,-5),(-5,-1)$ dobivamo rješenja

$$(m,n)=(1,4),(1,2),(-2,2),(-2,4).$$

Drugo rješenje.

Danu jednakost možemo zapisati kao

$$n^2-6n+9=m^2+m-1, \qquad\text{odnosno}\qquad (n-3)^2=m^2+m-1.$$

Pretpostavimo najprije da je $m>0$, tada je $m^2+m-1\ge m^2$. Također je

$$m^2+m-1<m^2+2m+1=(m+1)^2.$$

Dakle, ako je $m>0$, broj $m^2+m-1$ je potpun kvadrat ako i samo ako je $m=1$. Uvrštavanjem dobivamo da je $(n-3)^2=1$, pa time dobivamo dva rješenja $(m,n)=(1,2)$ i $(m,n)=(1,4)$.

Pretpostavimo sada da je $m\le0$, neka je $m=-k$, gdje je $k\ge0$. Dobivamo jednadžbu

$$(n-3)^2=k^2-k-1.$$

Opet, primijetimo da je $k^2-k-1<k^2$. Za $k=0$ i $k=1$ dobivamo $(n-3)^2=-1$, što je nemoguće, a za $k\ge2$ je

$$k^2-k-1\ge k^2-2k+1=(k-1)^2.$$

Dakle, broj $k^2-k-1$ je potpun kvadrat ako i samo ako je $k=2$. Uvrštavanjem dobivamo kao i prije da je $(n-3)^2=1$, time dobivamo još dva rješenja $(m,n)=(-2,2)$ i $(m,n)=(-2,4)$.

Treće rješenje.

Zapišimo jednakost na sljedeći način:

$$n^2-6n+8=m^2+m-2$$

i faktorizirajmo obje strane:

$$(n-4)(n-2)=(m-1)(m+2).$$

Ako su obje strane jednakosti jednake $0$, dobivamo četiri rješenja:

$$(m,n)\in\{(1,4),(1,2),(-2,2),(-2,4)\}.$$

Pretpostavimo da nijedna strana jednakosti nije $0$. Lijeva strana je negativna ako je $n=3$, a desna ako je $m=0$ ili $m=-1$, no to ne daje rješenje. Zato možemo pretpostaviti da su obje strane jednakosti pozitivne.

Prvi slučaj. Pretpostavimo da je $m-1<n-4$. Tada je $m-1\le n-5$, tj. $m+2\le n-2$. Ako su brojevi $n-4,n-2,m-1$ i $m+2$ pozitivni, onda je

$$(m-1)(m+2)<(n-4)(n-2),$$

a ako su svi negativni onda je

$$(n-4)(n-2)<(m-1)(m+2),$$

što je kontradikcija.

Pretpostavimo da su $m-1$ i $m+2$ negativni, a $n-4$ i $n-2$ pozitivni brojevi. Ako je $-m-2<n-4$, onda je $-m+1\le n-2$. Iz toga slijedi

$$(m-1)(m+2)<(n-4)(n-2),$$

što je nemoguće. Ako je $-m-2\ge n-4$, onda je $-m+1\ge n-1>n-2$, pa je

$$(m-1)(m+2)>(n-4)(n-2),$$

što je također nemoguće.

Drugi slučaj. Pretpostavimo da je $m-1\ge n-4$, onda je $m+2>n-2$. Analogno kao u prvom slučaju možemo razlikovati slučajeve jesu li svi brojevi istog predznaka i slučaj kad su brojevi $n-2$ i $n-4$ negativni, a $m-1$ i $m+2$ pozitivni. U svim slučajevima dobivamo kontradikciju kao u prvom slučaju.