4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je točka $F$ polovište stranice $AC$.

Kako je točka $F$ polovište stranice $AC$, a točka $M$ polovište stranice $CD$, zaključujemo da je dužina $FM$ srednjica trokuta $ADC$. Iz toga je najprije

$$|FM|=\frac{|AD|}{2}=\frac{|AB|}{4},$$

gdje druga jednakost vrijedi zato što je točka $D$ polovište stranice $AB$ (trokut $ABC$ je jednakokračan).

Nadalje, pravac $FM$ je paralelan pravcu $AB$ pa je

$$\angle MFE=\angle BAE,\qquad \angle FME=\angle ABE.$$

Dakle, trokuti $FME$ i $ABE$ su slični pa je

$$\frac{|FE|}{|AE|}=\frac{|FM|}{|AB|}=\frac14.$$

Kako je $|AF|+|FE|=|AE|=4|FE|$, dobivamo da je

$$|FE|=\frac{|AF|}{3}=\frac{|AC|}{6}.$$

Konačno možemo izračunati da je

$$|CE|=|CF|-|FE|=\frac{|AC|}{2}-\frac{|AC|}{6}=\frac{|AC|}{3},$$

odnosno

$$|CE|:|AC|=1:3.$$

Drugo rješenje.

Neka je točka $G$ polovište stranice $BC$. Točka $T$ neka je presjek dužina $BM$ i $DG$.

Kako su točke $M$ i $G$ polovišta stranica $CD$ i $BC$, zaključujemo da je točka $T$ težište trokuta $BCD$. Stoga je

$$|GT|:|DG|=1:3.$$

Trokut $ABC$ je jednakokračan pa je točka $D$ polovište stranice $AB$. Kako je i točka $G$ polovište stranice $BC$, zaključujemo da je dužina $DG$ srednjica trokuta $ABC$. Dakle, pravci $DG$ i $AC$ paralelni.

Konačno je

$$|CE|:|AC|=|TG|:|DG|=1:3.$$