7. Zadatak
U koordinatnoj ravnini označeno je točaka s cjelobrojnim koordinatama, pri čemu nikoje tri točke ne leže na istom pravcu. Dokaži da postoji trokut čiji vrhovi su označene točke i čije težište je također točka s cjelobrojnim koordinatama.
(Kažemo da je točka s cjelobrojnim koordinatama ako su i cijeli brojevi.)
Rješenje
U trokutu s vrhovima , i koordinate težišta su
Prema ostatcima koordinata pri dijeljenju s , točke u ravnini možemo podijeliti u tipova (ostatci mogu biti ).
Budući da je označeno točaka, a vrijedi , (prema Dirichletovom principu) postoje barem označene točke istog tipa. Upravo su te tri točke vrhovi trokuta čije težište ima cjelobrojne koordinate.