2. Zadatak

Prvo rješenje.

Prvu jednakost možemo zapisati kao $2^{x^2}=2^{4y}$, odakle logaritmiranjem slijedi

$$x^2=4y.$$

Sređivanjem druge nejednakosti dobivamo

$$\begin{aligned} 0&<\log_{\sqrt{2017}}x+\log_{2017}y\\ &=2\log_{2017}x+\log_{2017}y\\ &=\log_{2017}(x^2y), \end{aligned}$$

odnosno, zbog $2017>1$, slijedi $x^2y>1$.

Dakle, vrijedi $4y^2=x^2y>1$. Budući da je $y$ pozitivan realan broj, slijedi $y>\frac12$.

Drugo rješenje.

Pretpostavimo suprotno, tj. da je $0<y\le\frac12$.

Iz dane jednakosti slijedi $x^2=4y\le2$. Zato je

$$\log_{\sqrt{2017}}x=\log_{2017}x^2\le\log_{2017}2.$$

Također vrijedi

$$\log_{2017}y\le\log_{2017}\frac12.$$

Zbrajanjem tih nejednakosti dobivamo

$$\log_{\sqrt{2017}}x+\log_{2017}y \le\log_{2017}2+\log_{2017}\frac12 =\log_{2017}\left(2\cdot\frac12\right)=\log_{2017}1=0,$$

što je u suprotnosti s danom nejednakošću.