6. Zadatak

Neka je $\alpha=\angle BAC$ i $\beta=\angle ABC$, te neka je $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$.

Budući da je $\angle BAF=60^\circ$ i $\angle OAC=30^\circ$, slijedi da je $\angle OAF=\alpha+90^\circ$.

Također, uočimo da je

$$|AO|=\frac23\cdot\frac{b\sqrt3}{2}=\frac{b\sqrt3}{3}.$$

Primijenimo li poučak o kosinusu na trokut $AOF$, dobivamo

$$|OF|^2=\frac{b^2}{3}+c^2-2\cdot\frac{b\sqrt3}{3}\cdot c\cdot\cos(\alpha+90^\circ).$$

Budući da je $\angle CBD=60^\circ$, slijedi da je $\angle ABM=\beta+60^\circ$. Primijenimo li poučak o kosinusu na trokut $ABM$, dobivamo

$$|AM|^2=\frac{a^2}{4}+c^2-2\cdot\frac{a}{2}\cdot c\cdot\cos(\beta+60^\circ).$$

Treba pokazati da je $2|AM|=\sqrt3|OF|$, tj. $4|AM|^2-3|OF|^2=0$.

Uvrstimo li dobivene rezultate, dobivamo

$$\begin{aligned} 4|AM|^2-3|OF|^2 &=c^2+a^2-b^2-4ac\cos(\beta+60^\circ)+2bc\sqrt3\cos(\alpha+90^\circ)\\ &=c^2+a^2-b^2-4ac\cos(\beta+60^\circ)-2bc\sqrt3\sin\alpha\\ &=2ac\cos\beta-4ac\cos(\beta+60^\circ)-2bc\sqrt3\sin\alpha, \end{aligned}$$

pri čemu zadnja jednakost vrijedi zbog poučka o kosinusu na trokut $ABC$.

Prema poučku o sinusima vrijedi $b\sin\alpha=a\sin\beta$, pa slijedi

$$4|AM|^2-3|OF|^2=2ac\cos\beta-4ac\cos(\beta+60^\circ)-2ac\sqrt3\sin\beta.$$

Konačno, budući da je

$$\cos(\beta+60^\circ)=\cos60^\circ\cos\beta-\sin60^\circ\sin\beta=\frac12\cos\beta-\frac{\sqrt3}{2}\sin\beta,$$

slijedi da je

$$4|AM|^2-3|OF|^2=0.$$

Službeni alternativni završetak.

Umjesto korištenja poučka o kosinusu za trokut $ABM$, vrijednost $|AM|^2$ možemo izraziti iz trokuta $ACM$:

$$|AM|^2=b^2+\frac{3a^2}{4}-ab\sqrt3\cos(\gamma+30^\circ).$$

Tada je

$$\begin{aligned} 4|AM|^2-3|OF|^2 &=3b^2+3a^2-3c^2-4ab\sqrt3\cos(\gamma+30^\circ)+2bc\sqrt3\cos(\alpha+90^\circ)\\ &=6ab\cos\gamma-4ab\sqrt3\cos(\gamma+30^\circ)-2bc\sqrt3\sin\alpha\\ &=6ab\cos\gamma-4ab\sqrt3\cos(\gamma+30^\circ)-2ab\sqrt3\sin\gamma=0. \end{aligned}$$