4. Zadatak

Prvo rješenje.

Budući da su $n$ i $n+1$ relativno prosti, $n^2$ dijeli $100$.

Mogućnosti su $n=1$, $n=2$, $n=5$ i $n=10$.

Rješenja su $(200,1)$, $(75,2)$, $(24,5)$ i $(11,10)$.

Drugo rješenje.

Zadanu jednadžbu možemo zapisati na sljedeći način:

$$n(mn-100)=100,$$

iz čega vidimo da $n$ mora biti djelitelj broja $100$.

Broj $100$ ima $9$ prirodnih djelitelja i za svaki određujemo pripadni $m$ koristeći formulu

$$m=\frac{100(n+1)}{n^2}$$

($X$ označava da pripadni $m$ nije prirodni broj):

$n$	1	2	4	5	10	20	25	50	100
$m$	200	75	$X$	24	11	$X$	$X$	$X$	$X$

Rješenja su $(200,1)$, $(75,2)$, $(24,5)$ i $(11,10)$.

Službena napomena.

Umjesto provjeravanja svih slučajeva, jednom kad zaključimo da $n$ dijeli $100$ možemo nastaviti na sljedeći način. Neka je $100=n\cdot a$. Tada je $n(m-a)=a$, tj. $n$ dijeli $a$. To znači da $n^2$ dijeli $100$, a rješenje se nakon toga dovrši kao u prvom rješenju.