5. Zadatak

Uvrstimo $n=1$. Lijeva strana je $2^1\cdot(1!)^2=2$, a desna $(2\cdot1)!=2$ pa $n=1$ ne zadovoljava tu nejednakost.

Uvrstimo $n=2$. Lijeva strana je $2^2\cdot(2!)^2=4\cdot4=16$, a desna $(2\cdot2)!=4!=24$. Kako je $16<24$, broj $n=2$ zadovoljava danu nejednakost.

Indukcijom ćemo dokazati da nejednakost vrijedi za sve $n\ge2$. Bazu smo provjerili ($n=2$). Pretpostavimo da za neki $n\ge2$ vrijedi

$$(2n)!>2^n\cdot(n!)^2.\tag{*}$$

Tada je

$$(2(n+1))!=(2n+2)(2n+1)(2n)!>(2n+2)(2n+1)\cdot2^n\cdot(n!)^2.$$

Dalje je

$$\begin{aligned} (2n+2)(2n+1)\cdot2^n\cdot(n!)^2 &=2(n+1)(2n+1)\cdot2^n\cdot n!\cdot n!\\ &=2^{n+1}\cdot(n+1)!\cdot n!\cdot(2n+1). \end{aligned}$$

Kako je $2n+1>n+1$ za sve prirodne $n$, taj je izraz veći od $2^{n+1}\cdot((n+1)!)^2$, čime smo dokazali da je (uz pretpostavku da za $n$ vrijedi $(*)$)

$$(2(n+1))!>2^{n+1}\cdot((n+1)!)^2.$$

Sada po principu matematičke indukcije zaključujemo da dana nejednakost vrijedi za sve prirodne brojeve $n\ge2$.