6. Zadatak

Prvo rješenje.

Apscise ($x$-koordinate) presjeka pravca $y=x$ i dane parabole su rješenja jednadžbe

$$x^2+(p-1)x+q=0.$$

Apscise presjeka pravca $y=2x$ i dane parabole su rješenja jednadžbe

$$x^2+(p-2)x+q=0.$$

Neka su rješenja prve jednadžbe $x_1$ i $x_2$ ($0<x_1<x_2$), a rješenja druge jednadžbe $x_3$ i $x_4$ ($0<x_3<x_4$).

Duljina ortogonalne projekcije prvog dijela parabole je $x_1-x_3$, a duljina ortogonalne projekcije drugog dijela $x_4-x_2$. Razlika njihovih duljina je

$$|(x_1-x_3)-(x_4-x_2)|=|(x_1+x_2)-(x_3+x_4)|.$$

Prema Vièteovim formulama je $x_1+x_2=1-p$ i $x_3+x_4=2-p$. Stoga je tražena razlika

$$|(1-p)-(2-p)|=1.$$

Drugo rješenje.

Apscise ($x$-koordinate) presjeka pravca $y=x$ i dane parabole su rješenja jednadžbe

$$x^2+(p-1)x+q=0.$$

To su

$$x_1=\frac{1-p-\sqrt{(p-1)^2-4q}}2,\qquad x_2=\frac{1-p+\sqrt{(p-1)^2-4q}}2.$$

Apscise presjeka pravca $y=2x$ i dane parabole su rješenja jednadžbe

$$x^2+(p-2)x+q=0.$$

To su

$$x_3=\frac{2-p-\sqrt{(p-2)^2-4q}}2,\qquad x_4=\frac{2-p+\sqrt{(p-2)^2-4q}}2.$$

Ortogonalna projekcija prvog dijela parabole na os $x$ omeđena je točkama s apscisama $x_3$ i $x_1$ pa je njena duljina

$$\begin{aligned} x_1-x_3 &=\frac{1-p-\sqrt{(p-1)^2-4q}}2-\frac{2-p-\sqrt{(p-2)^2-4q}}2\\ &=\frac12\left(-1+\sqrt{(p-2)^2-4q}-\sqrt{(p-1)^2-4q}\right). \end{aligned}$$

Ortogonalna projekcija drugog dijela parabole na os $x$ omeđena je točkama s apscisama $x_2$ i $x_4$ pa je njena duljina

$$\begin{aligned} x_4-x_2 &=\frac{2-p+\sqrt{(p-2)^2-4q}}2-\frac{1-p+\sqrt{(p-1)^2-4q}}2\\ &=\frac12\left(1+\sqrt{(p-2)^2-4q}-\sqrt{(p-1)^2-4q}\right). \end{aligned}$$

Razlika duljina ortogonalnih projekcija tih dvaju dijelova parabole je

$$\begin{aligned} &\left|\frac12\left(-1+\sqrt{(p-2)^2-4q}-\sqrt{(p-1)^2-4q}\right) -\frac12\left(1+\sqrt{(p-2)^2-4q}-\sqrt{(p-1)^2-4q}\right)\right|\\ &=\left|\frac12(-1-1)\right|=1. \end{aligned}$$