3. Zadatak

Prvo rješenje.

Zbog prvog uvjeta traženi brojevi su oblika $z=\cos\varphi+i\sin\varphi$, a tada drugi uvjet postaje

$$\cos(100\varphi)=\sin(200\varphi).$$

Svako rješenje te jednadžbe na intervalu $[0,2\pi)$ odgovara jednom kompleksnom broju koji zadovoljava uvjet zadatka.

Dobivenu jednadžbu možemo pisati u obliku

$$\cos(100\varphi)=2\sin(100\varphi)\cos(100\varphi).$$

Odatle slijedi da je

$$\cos(100\varphi)=0\qquad\text{ili}\qquad\sin(100\varphi)=\frac12.$$

Svaka od tih jednadžbi ima 200 rješenja u intervalu $[0,2\pi)$, i ta su rješenja očito međusobno različita. Stoga postoji ukupno 400 kompleksnih brojeva koji zadovoljavaju dane uvjete.

Drugo rješenje.

Zbog prvog uvjeta traženi brojevi su oblika $z=\cos\varphi+i\sin\varphi$, a tada drugi uvjet postaje $\cos(100\varphi)=\sin(200\varphi)$. Svako rješenje te jednadžbe na intervalu $[0,2\pi)$ odgovara jednom kompleksnom broju koji zadovoljava uvjet zadatka.

Dobivenu jednadžbu možemo pisati u obliku

$$\cos(100\varphi)=\cos\left(\frac\pi2-200\varphi\right),$$

odakle slijedi

$$100\varphi=\frac\pi2-200\varphi+2k\pi\qquad\text{ili}\qquad-100\varphi=\frac\pi2-200\varphi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Dakle,

$$300\varphi=\frac\pi2+2k\pi\qquad\text{ili}\qquad100\varphi=\frac\pi2+2k\pi.$$

Prva jednadžba ima 300 rješenja u intervalu $[0,2\pi)$, a druga 100, i sva su ta rješenja međusobno različita. Stoga postoji ukupno 400 kompleksnih brojeva koji zadovoljavaju dane uvjete.

Treće rješenje.

Zbog prvog uvjeta traženi brojevi su oblika $z=\cos\varphi+i\sin\varphi$, a tada drugi uvjet postaje

$$\cos(100\varphi)=\sin(200\varphi).\tag{*}$$

Svako rješenje te jednadžbe na intervalu $[0,2\pi)$ odgovara jednom kompleksnom broju koji zadovoljava uvjet zadatka.

Skicirajmo grafove $y=\sin200x$ i $y=\cos100x$. Zbog periodičnosti, dovoljno ih je skicirati na intervalu $[0,\frac{2\pi}{100}]$.

Lako se vidi da se na tom intervalu grafovi sijeku u četiri točke. Isto se ponavlja ukupno 100 puta na intervalu $[0,2\pi)$ pa jednadžba $(*)$ ima 400 rješenja, odnosno 400 kompleksnih brojeva zadovoljava dane uvjete.