7. Zadatak

Neka je dani izraz jednak $m$. Umjesto $\log_2(3^n+7)=m$ možemo pisati

$$3^n+7=2^m.\tag{*}$$

Izraz na lijevoj strani ove jednakosti pri dijeljenju s 3 daje ostatak 1. Potencije broja 2 daju naizmjence ostatke 2 i 1 pri dijeljenju s 3. Ostatak pri dijeljenju broja $2^m$ s 3 jednak je 1 ako i samo ako je broj $m$ paran.

Stoga $m$ mora biti paran broj. Stavimo $m=2m_1$. Tada je

$$3^n+7=4^{m_1}.$$

Broj na desnoj strani ove jednakosti je djeljiv s 4. Broj $3^n$ daje naizmjenice ostatke 3 i 1 pri dijeljenju s 4, a kako tom broju dodajemo 7, zaključujemo da $n$ mora biti paran broj.

Neka je $n=2n_1$. Treba odrediti prirodne brojeve $m_1,n_1$ tako da vrijedi $3^{2n_1}+7=2^{2m_1}$ odnosno

$$(2^{m_1}-3^{n_1})(2^{m_1}+3^{n_1})=7.$$

Izraz u prvoj zagradi je manji od izraza u drugoj zagradi. Izraz u drugoj zagradi je očito pozitivan, pa i izraz u prvoj zagradi mora biti pozitivan. Kako je 7 prost broj, jedina je mogućnost

$$2^{m_1}-3^{n_1}=1,\qquad 2^{m_1}+3^{n_1}=7.$$

Zbrajanjem ovih jednakosti dobivamo $2\cdot2^{m_1}=8$, pa je $m_1=2$, a njihovim oduzimanjem $2\cdot3^{n_1}=6$, pa je $n_1=1$.

Rješenje jednadžbe $(*)$ je $m=4$, $n=2$. Jedini prirodni broj $n$ za koji je dani izraz prirodan broj je $n=2$.