2. Zadatak

Rješenje 1. Zapišimo traženi izraz u obliku

$$z^{46}+z^{47}+z^{48}+z^{49}+z^{50}=z^{48}(z^{-2}+z^{-1}+1+z+z^2). \tag{2}$$

Kvadriranjem uvjeta zadatka dobivamo

$$z^2+z^{-2}=-1,$$

a kubiranjem uvjeta zadatka

$$z^3+2+z^{-3}=0.$$

Pomnožimo li gornju jednadžbu sa $z^3$, slijedi

$$\begin{aligned} z^6+2z^3+1&=0,\\ (z^3+1)^2&=0,\\ z^3&=-1. \end{aligned}$$

Napokon, uvrštavanjem u $(2)$ slijedi

$$\begin{aligned} z^{46}+z^{47}+z^{48}+z^{49}+z^{50} &=(z^3)^{16}\left((z^{-2}+z^2)+(z^{-1}+z)+1\right)\\ &=(-1)^{16}(-1+1+1)=1. \end{aligned}$$

Rješenje 2. Pomnožimo li uvjet zadatka sa $z$, dobivamo kvadratnu jednadžbu

$$z^2-z+1=0,$$

a množenjem ove jednadžbe sa $(z+1)$ dobivamo zbroj kubova

$$z^3+1=0.$$

Prema tome je $z^3=-1$. Zapišimo sada izraz

$$\begin{aligned} z^{46}+z^{47}+z^{48}+z^{49}+z^{50} &=z^{3\cdot15+1}+z^{3\cdot15+2}+z^{3\cdot16}+z^{3\cdot16+1}+z^{3\cdot16+2}\\ &=(z^3)^{15}z+(z^3)^{15}z^2+(z^3)^{16}+(z^3)^{16}z+(z^3)^{16}z^2. \end{aligned}$$

Uvrštavajući $z^3=-1$ u gornji izraz, slijedi

$$z^{46}+z^{47}+z^{48}+z^{49}+z^{50}=-z-z^2+1+z+z^2=1.$$