Osnovna škola Srednja škola A Srednja škola B

Pretraži zadatke

←Vrati se na zadatke

Srednja škola

4. razred

A varijanta

Školsko natjecanje

2025. godina

Bodovi: 6

Područja

Algebra i funkcije

Zadaci ovog natjecanja

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

5. Zadatak

Zadan je niz $(a_n)_{n\in\mathbb N_0}$ takav da je $a_0=a$ , $a_1=b$ , gdje su $a,b\in\mathbb R$ , i

a_n=a_{n-1}+a_{n-2},\qquad n\geq2.

Odredite $a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}$ .

Uvedimo oznaku $A_n=a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}$ . Tada za $n\in\mathbb N$ vrijedi

\begin{aligned} A_n+A_{n+1} &=a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}+a_{n+1}^2-a_na_{n+2}\\ &=a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}+a_{n+1}^2-a_n(a_n+a_{n+1})\\ &=a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}+a_{n+1}^2-a_n^2-a_na_{n+1}\\ &=a_{n+1}^2-a_{n+1}(a_{n-1}+a_n)=a_{n+1}^2-a_{n+1}^2=0. \end{aligned}

Kako je $A_n+A_{n+1}=0$ , to slijedi

\begin{aligned} A_1&=a_1^2-a_0a_2=b^2-a(a+b)=b^2-a^2-ab,\\ A_2&=-A_1,\\ A_3&=-A_2=A_1,\\ &\vdots\\ A_n&=a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}=(-1)^{n-1}(b^2-a^2-ab). \end{aligned}

Izvor

Ministarstvo znanosti, obrazovanja i mladih Republike Hrvatske · Agencija za odgoj i obrazovanje

2025-SS-skolsko-A-1234-zad.pdf
2025-SS-skolsko-A-Ispravljena-rjesenja-4r-rj.pdf

Matematički zadaci s natjecanja

Neovisni volonterski projekt. Ovo nije službena stranica Hrvatskog matematičkog društva, Agencije za odgoj i obrazovanje ni nadležnog ministarstva.

Izvori i ustanove navedeni su uz svaki zadatak.

Privatnost Politika kolačića

Zadaci

Osnovna škola
Srednja škola A
Srednja škola B

Korisni linkovi

Matematička natjecanja
Hrvatsko matematičko društvo

Vidiš neku grešku?

Javi nam ako tekst, formula, slika ili rješenje nisu točni.

Projekt s pažnjom uređuje i održava Petar.

Može jedan kolačić?

Analitika nam pomaže poboljšati stranicu — ali samo ako je tebi to prihvatljivo.

Privatnost

Postavke kolačića

Ti odlučuješ smijemo li uključiti analitiku. Nužna pohrana uvijek je uključena jer omogućuje funkcije koje sam zatražiš.

NužnoLista za ispis, filtri i tvoj odabir privatnosti.

AnalitikaGoogle Analytics 4, samo uz tvoju privolu.

Pogledaj Politiku kolačića za potpuni popis pohrane, svrhe i trajanja.

Prijavi grešku

Moguće su pogreške u prijepisu, formulama, slikama ili rješenjima. Hvala što nam pomažeš poboljšati zbirku.

Vrsta problemaOpis problemaKontakt e-mail neobaveznoE-mail koristimo samo ako trebamo dodatno objašnjenje ili ti želimo javiti da je problem ispravljen. Kako obrađujemo podatke.Web-stranica

Hvala na prijavi

Prijava je spremljena i bit će pregledana.

Lista za ispis 0

Sortiraj:

Sadržaj za ispis Zadatak Uključi rješenja