3. Zadatak

Neka je $T$ bilo koja točka s cjelobrojnim koordinatama $(a,b)$ i $p$ zadani pravac. Implicitni oblik jednadžbe pravca $p$ glasi $25x-15y+12=0$, a udaljenost točke $T$ do pravca $p$ dana je s

$$d(T,p)=\frac{|25a-15b+12|}{5\sqrt{34}}.$$

Pretpostavimo suprotno tvrdnji, tj. neka postoji točka $T$ za koju je

$$\frac{|25a-15b+12|}{5\sqrt{34}}\leq\frac1{30},$$

tj.

$$|25a-15b+12|\leq\frac{\sqrt{34}}6.$$

Kako su $a$ i $b$ cijeli brojevi, to je $25a-15b+12$ također cijeli broj, pa iz gornje nejednakosti zaključujemo da $25a-15b+12$ mora biti jednak $0$.

Pokažimo sada da ne postoji par cijelih brojeva $a,b$ koji zadovoljavaju jednadžbu $25a-15b+12=0$. Ako je $25a-15b+12=0$, onda je

$$b=\frac{25a+12}{15}=2a+1-\frac{5a+3}{15}$$

i to je cijeli broj ako je $\frac{5a+3}{15}$ cijeli broj. Ovo je pak nemoguće jer ne postoji cijeli broj $a$ za koji je izraz $5a+3$ djeljiv s $5$.

Prema tome, početna je pretpostavka kriva, tj.

$$d(T,p)=\frac{|25a-15b+12|}{5\sqrt{34}}>\frac1{30}.$$