1. Zadatak

Rješenje 1. Prema binomnom poučku vrijedi

$$\begin{aligned} (a+b)^5&=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5,\\ (a-b)^5&=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5. \end{aligned}$$

Iz gornjeg slijedi

$$(a+b)^5+(a-b)^5=2(a^5+10a^3b^2+5ab^4). \tag{1}$$

Sada uvedemo supstituciju

$$a=x,\qquad b=\sqrt{x^3-1}.$$

Uvrštavanjem u jednadžbu $(1)$ dobivamo

$$\begin{aligned} &\left(x+\sqrt{x^3-1}\right)^5+\left(x-\sqrt{x^3-1}\right)^5\\ &\qquad=2\left(x^5+10x^3(x^3-1)+5x(x^3-1)^2\right)\\ &\qquad=2(x^5+10x^6-10x^3+5x^7-10x^4+5x). \end{aligned}$$

Konačno, zbroj koeficijenata svih neparnih stupnjeva u gornjem razvoju jednak je

$$\sum=2(1-10+5+5)=2.$$

Rješenje 2. Iskoristimo li binomnu formulu, dobivamo

$$\begin{aligned} &\left(x+\sqrt{x^3-1}\right)^5+\left(x-\sqrt{x^3-1}\right)^5\\ &=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}x^{5-k}\sqrt{x^3-1}^{\,k} +\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}(-1)^k x^{5-k}\sqrt{x^3-1}^{\,k}\\ &=2\left[x^5+\binom52x^3\sqrt{x^3-1}^{\,2}+\binom54x\sqrt{x^3-1}^{\,4}\right]\\ &=2\left[x^5+\frac{5\cdot4}{1\cdot2}x^3(x^3-1)+5x(x^3-1)^2\right]\\ &=2(x^5+10x^6-10x^3+5x^7-10x^4+5x). \end{aligned}$$

Prema tome, zbroj koeficijenata svih neparnih stupnjeva u gornjem razvoju jednak je

$$\sum=2(1-10+5+5)=2.$$