7. Zadatak

Neka su $a<b<c$ stranice, a $\alpha<\beta<\gamma=90^\circ$ kutovi pravokutnog trokuta. Pokažimo najprije da stranice bilo kojeg trokuta čine aritmetički niz kada sinusi unutarnjih kutova čine aritmetički niz.

Ako je $\sin\beta=\sin\alpha+d$, $\sin\gamma=\sin\alpha+2d$, iz poučka o sinusima,

$$\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c},$$

slijedi

$$\frac{b\sin\alpha}{a}=\sin\alpha+d,\qquad \frac{c\sin\alpha}{a}=\sin\alpha+2d,$$

tj.

$$b=a+\frac{ad}{\sin\alpha},\qquad c=a+\frac{2ad}{\sin\alpha},$$

što odgovara članovima aritmetičkog niza $\left(a,\frac{ad}{\sin\alpha}\right)$.

Prema prethodnom, iz

$$2\sin\beta=\sin\alpha+\sin\gamma$$

slijedi $2b=a+c$, tj.

$$a=2b-c. \tag{3}$$

Prema Pitagorinu poučku je $a^2+b^2=c^2$ pa uvrštavajući $a=2b-c$ dobivamo

$$(2b-c)^2+b^2=c^2,$$

iz čega slijedi

$$5b^2-4bc=0.$$

Dijeljenjem s $b\neq0$ je

$$b=\frac45c. \tag{4}$$

Iz $(3)$ i $(4)$ dobivamo $a=\frac35c$ pa je

$$a:b:c=\frac35c:\frac45c:c,$$

tj.

$$a:b:c=3:4:5.$$