3. Zadatak

Brojevi $a$, $b$ i $c$ su pozitivni i vrijedi $a+b+c=1$, pa se svi moraju nalaziti u intervalu $(0,1)$. Iz toga slijedi da je $a^2<a$, $b^2<b$ i $c^2<c$.

Stoga je

$$\frac{1+9a^2}{1+2a+2b^2+2c^2} < \frac{1+9a^2}{1+2a^2+2b^2+2c^2},$$

i analogno

$$\frac{1+9b^2}{1+2b+2c^2+2a^2} < \frac{1+9b^2}{1+2a^2+2b^2+2c^2} \qquad \text{i} \qquad \frac{1+9c^2}{1+2c+2a^2+2b^2} < \frac{1+9c^2}{1+2a^2+2b^2+2c^2}.$$

Uz oznaku $S=a^2+b^2+c^2$, zbrajanjem gornjih nejednakosti dobijemo

$$\frac{1+9a^2}{1+2a+2b^2+2c^2} + \frac{1+9b^2}{1+2b+2c^2+2a^2} + \frac{1+9c^2}{1+2c+2a^2+2b^2} < \frac{3+9S}{1+2S}. \tag{2}$$

Budući da je $S=a^2+b^2+c^2<a+b+c=1$, slijedi

$$\frac{3+9S}{1+2S}<\frac{4+8S}{1+2S}=4. \tag{3}$$

Konačno, iz (2) i (3) slijedi tražena nejednakost.