2. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo katete pravokutnog trokuta s $a$ i $b$, hipotenuzu s $c$ te radijus upisane kružnice s $r$. Izjednačavanjem formula za površinu pravokutnog trokuta dobivamo

$$r\cdot\frac{a+b+c}{2}=P=\frac{ab}{2}$$ $$ab-4a-4b=4c.$$

Kvadriranjem zadnje jednakosti, pa primjenom Pitagorinog poučka dalje slijedi

$$\begin{aligned} (ab-4a-4b)^2&=16c^2\\ (ab-4a-4b)^2&=16a^2+16b^2\\ a^2b^2-8a^2b-8ab^2+32ab&=0\\ ab(ab-8a-8b+32)&=0. \end{aligned}$$

Kako su $a$ i $b$ stranice trokuta, moraju biti pozitivne pa zadnju jednakost možemo podijeliti s $ab$ te dobivamo jednadžbu

$$ab-8a-8b+32=0, \tag{1}$$

koju faktoriziranjem možemo zapisati u obliku

$$(a-8)(b-8)=32.$$

Kako su $a$ i $b$ cjelobrojni, zaključujemo da brojevi $a-8$ i $b-8$ moraju biti djelitelji broja 32. Preostaje provjeriti 12 mogućnosti, od kojih njih 6 možemo preskočiti uz pretpostavku da je $a$ manji od $b$. Dakle, promatramo mogućnosti:

$$\begin{array}{ll} a-8=-32 & a-8=1\\ a-8=-16 & a-8=2\\ a-8=-8 & a-8=4 \end{array}$$

Uvrštavanjem u početnu jednadžbu i uzimajući u obzir da $a$ mora biti pozitivan zaključujemo da sljedeći parovi kateta zadovoljavaju uvjete zadatka

$$(9,40), (10,24), (12,16), (16,12), (24,10), (40,9).$$

Za svaki taj par, izračunamo $c$ koristeći Pitagorin poučak, te provjerimo da je $\frac{ab}{a+b+c}=4$.

Drugo rješenje.

Označimo katete pravokutnog trokuta s $a$ i $b$, hipotenuzu s $c$ te radijus upisane kružnice s $r$. Neka su $A'$, $B'$, $C'$ dirališta upisane kružnice sa stranicama $a$, $b$, $c$, redom te neka je $S$ središte upisane kružnice.

Uočimo da četverokut $CA'SB'$ ima tri prava kuta i dvije stranice jednake, jer su to radijusi upisane kružnice, pa zaključujemo da je $CA'SB'$ kvadrat sa stranicom duljine $r$. Njegova površina je $P_1=r^2$.

Trokuti $AC'S$ i $AB'S$ su sukladni (po S–S–K poučku o sukladnosti, jer su oba pravokutni, dijele hipotenuzu i oba imaju jednu katetu $r$) pa je njihova ukupna površina $P_2=2\cdot\frac{r(b-r)}{2}=r(b-r)$.

Analogno pokažemo da ukupna površina trokuta $BC'S$ i $BA'S$ iznosi $P_3=r(a-r)$.

Za površinu trokuta $ABC$ vrijedi $P=P_1+P_2+P_3$ i formula za površinu pravokutnog trokuta je $P=\frac{ab}{2}$, pa izjednačavanjem dobivamo

$$\begin{aligned} \frac{ab}{2}&=4^2+4(a-4)+4(b-4)\\ ab-8a-8b+32&=0. \end{aligned}$$

Budući da smo dobili jednadžbu (1) dalje postupamo kao u prvom rješenju.

Treće rješenje.

Označimo katete pravokutnog trokuta s $a$ i $b$, hipotenuzu s $c$ te radijus upisane kružnice s $r$. Neka su $A'$, $B'$, $C'$ dirališta upisane kružnice sa stranicama $a$, $b$, $c$, redom te neka je $S$ središte upisane kružnice.

Uočimo da četverokut $CA'SB'$ ima tri prava kuta i dvije stranice jednake, jer su to radijusi upisane kružnice, pa zaključujemo da je $CA'SB'$ kvadrat sa stranicom duljine $r$.

Trokuti $AC'S$ i $AB'S$ su sukladni (po S–S–K poučku o sukladnosti, jer su oba pravokutni, dijele hipotenuzu i oba imaju jednu katetu $r$) pa je $|AC'|=|AB'|=b-r$.

Analogno pokažemo da su trokuti $BC'S$ i $BA'S$ sukladni te da vrijedi $|BC'|=|BA'|=a-r$.

Ovime smo pokazali da je $c=a+b-2r=a+b-8$, pa primjenom Pitagorinog poučka dobivamo

$$\begin{aligned} (a+b-8)^2&=a^2+b^2\\ 64+2ab-16a-16b&=0\\ ab-8a-8b+32&=0. \end{aligned}$$

Budući da smo dobili jednadžbu (1) dalje postupamo kao u prvom rješenju.