1. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo vrhove trokuta s $A$, $B$ i $C$ te označimo standardno $\angle BAC=\alpha$, $\angle CBA=\beta$, $\angle ACB=\gamma$. Nadalje, neka su $N_A$ i $N_B$ redom nožišta visina iz vrhova $A$ i $B$ te $H$ ortocentar tog trokuta.

Iz pravokutnih trokuta $ABN_B$, $ABN_A$ i $BCN_B$ slijedi da je

$$\angle ABN_B=90^\circ-\alpha,\qquad \angle N_AAB=90^\circ-\beta,\qquad \angle N_BBC=90^\circ-\gamma.$$

Primjenom sinusovog poučka na trokut $ABH$ i korištenjem idetntiteta $\sin(90^\circ-\varphi)=\cos\varphi$ dobivamo

$$\frac{|AH|}{|BH|}=\frac{\sin(90^\circ-\alpha)}{\sin(90^\circ-\beta)}=\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}.$$

Nadalje, iz pravokutnog trokuta $BN_AH$ slijedi

$$\frac{|BN_A|}{|BH|}=\sin(90^\circ-\gamma)=\cos\gamma.$$

Zato imamo

$$\frac{|AH|}{|HN_A|} =\frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}|BH|}{|BH|\cos\gamma} =\frac{\cos\alpha}{\cos\beta\cos\gamma}.$$

Drugo rješenje.

Zadržimo iste oznake kao u prvom rješenju.

Iz pravokutnih trokuta $AN_AC$ i $BCN_B$ slijedi da je

$$\angle CAN_A=90^\circ-\gamma,\qquad \angle N_BBC=90^\circ-\gamma.$$

Iz pravokutnih trokuta $AN_AB$ i $BN_BA$ slijedi

$$\frac{|BN_A|}{|AB|}=\cos\beta,\qquad \frac{|AN_B|}{|AB|}=\cos\alpha.$$

Nadalje, iz pravokutnih trokuta $AN_BH$ i $BN_AH$ dobivamo

$$\frac{|AN_B|}{|AH|}=\cos(90^\circ-\gamma)=\sin\gamma,$$ $$\frac{|HN_A|}{|BN_A|}=\operatorname{tg}(90^\circ-\gamma)=\operatorname{ctg}\gamma.$$

Sada slijedi

$$\begin{aligned} \frac{|AH|}{|HN_A|} &=\frac{\frac{|AN_B|}{\sin\gamma}}{|BN_A|\operatorname{ctg}\gamma}\\ &=\frac{\frac{|AB|\cos\alpha}{\sin\gamma}}{|AB|\cos\beta\frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}}\\ &=\frac{\cos\alpha}{\cos\beta\cos\gamma}. \end{aligned}$$