4. Zadatak

Tražimo sve $m\in\mathbb{N}$ za koje je $2^m-63=n^3$ za neki $n\in\mathbb{Z}$.

Promotrimo ostatke koje lijeva i desna strana ove jednakosti daju pri dijeljenju sa 7.

Raspisujući po svim mogućim ostatcima za $n$ pri dijeljenju sa 7, vidimo da kub cijelog broja $n^3$ daje ostatke 0, 1 ili 6.

Raspisujući sve ostatke koje $2^m$ daje pri dijeljenju sa 7, vidimo da su to 2, 4 i 1.

Kako je 63 djeljivo sa 7, a u jednakosti $2^m-63=n^3$ obje strane moraju davati jednak ostatak pri dijeljenju sa 7, zaključujemo da je jedina mogućnost da oba broja $2^m$ i $n^3$ daju ostatak 1 pri dijeljenju sa 7. To se postiže samo kada je $m$ djeljiv s 3.

Neka je $k\in\mathbb{N}$ takav da je $m=3k$. Primjenjujući razliku kubova, dobivamo

$$63=2^{3k}-n^3=(2^k-n)(2^{2k}+2^k\cdot n+n^2).$$

Provjeravamo moguće faktorizacije broja 63 na faktore $a:=2^k-n$ i $b:=2^{2k}+2^k\cdot n+n^2$. Kako je $b$ prirodan, i $a$ je nužno prirodan broj.

Možemo zaključiti da je $n$ nužno prirodan broj. Kada bi bilo $n\leq0$, tada iz $2^m-63=n^3\leq0$ vidimo da je $m<6$, za što je jedina mogućnost da je $m=3$. No, direktnom provjerom vidimo da $2^3-63=-55$ nije potpun kub.

Nadalje, kako je $b-a^2=3\cdot2^k\cdot n$ prirodan broj, vidimo da je nužno $b>a^2$. Iz $ab=63$ dobivamo $a^3<63$, odnosno $a\leq3$. Zato su jedine mogućnosti za $(a,b)$ parovi $(1,63)$ i $(3,21)$.

Mogućnost $(1,63)$ odbacujemo jer tada broj $b-a^2=62$ nije djeljiv s 3, pa nije oblika $3\cdot2^k\cdot n$.

Preostalo je provjeriti slučaj $a=2^k-n=3$, $b=2^{2k}+2^k\cdot n+n^2=21$. Također, imamo i $b-a^2=3\cdot2^k\cdot n=12$, odnosno $2^k\cdot n=4$. Odavde imamo dvije mogućnosti: $2^k=2$, $n=2$, ili $2^k=4$, $n=1$.

Uvrštavanjem u preostale jednadžbe, samo druga mogućnost nam daje rješenje jednadžbe za $k=2$, odnosno $m=6$. Dakle, $m=6$ je jedini prirodan broj koji zadovoljava uvjet zadatka.

Dokaz da je $m$ djeljiv s $3$ može se izvesti i gledajući ostatke koje obje strane jednadžbe $2^m-63$ daju pri dijeljenju s $9$. Lijeva strana jednadžbe $2^m-63=n^3$ daje ostatke $2$, $4$, $1$, $7$, $5$ i $8$, dok desna daje ostatke $0$, $1$ i $8$. Broj $2^m$ daje ostatke $1$ i $8$ samo kada je $m$ djeljiv s $3$.