2. Zadatak

Uvedimo supstituciju $a=2^x$, $b=3^y$.

Zadana jednadžba postaje

$$\begin{aligned} (a^2+1)(b^2+1)+70&=10(a+1)(b+1),\\ a^2b^2+a^2+b^2+71&=10(ab+a+b+1),\\ a^2b^2+a^2+b^2-10ab-10a-10b+61&=0, \end{aligned}$$ $$(a^2b^2-12ab+36)+(a^2+b^2+25+2ab-10a-10b)=0,$$ $$(ab-6)^2+(a+b-5)^2=0.$$

Budući da na lijevoj strani imamo zbroj dva nenegativna realna broja, taj je zbroj jednak nuli ako i samo su oba pribrojnika jednaka nuli. Dakle,

$$ab=6,\qquad a+b=5.$$

Brojevi $a$ i $b$ rješenja su kvadratne jednadžbe $t^2-5t+6=0$, čija su rješenja 2 i 3.

U prvom slučaju imamo $a=2$ i $b=3$. Uvrštavanjem u $a=2^x$, $b=3^y$ dobivamo rješenje $(x,y)=(1,1)$.

U drugom slučaju imamo $a=3$ i $b=2$. Uvrštavanjem u $a=2^x$, $b=3^y$ dobivamo rješenje $(x,y)=(\log_2 3,\log_3 2)$.

Dakle, sva rješenja zadane jednadžbe su parovi $(1,1)$ i $(\log_2 3,\log_3 2)$.