3. Zadatak

Lijeva nejednakost se lako dobije. Svaki pribrojnik u sumi veći je od $\dfrac1{2n}$. Tih pribrojnika ima $n+1$. Zato vrijedi

$$S=\frac1n+\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\ldots+\frac1{2n}>\frac{n+1}{2n}>\frac12.$$

Za dokaz desne strane koristit ćemo sličnu ocjenu. Svi su pribrojnici, počevši od trećeg, manji od $\dfrac1{n+2}$ pa je

$$\begin{aligned}S&<\frac1n+\frac1{n+1}+\frac{n-1}{n+2}=\frac{(n+1)(n+2)+n(n+2)+(n-1)n(n+1)}{n(n+1)(n+2)}\\&=\frac{n^2+3n+2+n^2+2n+n^3-n}{n^3+3n^2+2n}=\frac{n^3+2n^2+4n+2}{n^3+3n^2+2n}.\end{aligned}$$

Ovaj je razlomak manji od 1, jer je $2n^2+4n+2<3n^2+2n$ ekvivalentno s $2n+2<n^2$, što je istina za $n>2$.

Drugo rješenje.

Desna nejednakost može se dokazati indukcijom. Označimo

$$S_n=\frac1n+\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\ldots+\frac1{2n}.$$

Za $n=3$ vrijedi $S_3=\dfrac{19}{20}<1$. Pretpostavimo da vrijedi $S_n<1$. Razlika dva uzastopna člana niza $(S_n)$ je

$$S_{n+1}-S_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1n=\left(\frac1{2n+1}-\frac1{2n}\right)+\left(\frac1{2n+2}-\frac1{2n}\right)<0.$$

Zato je

$$S_{n+1}<S_n<1.$$

Time je korak indukcije pokazan.