2. Zadatak

Tri uzastopna koeficijenta razvoja $(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom nka^{n-k}b^k$ su $\binom n{k-1}$, $\binom nk$, $\binom n{k+1}$.

Oni čine aritmetički niz ako je:

$$2\binom nk=\binom n{k-1}+\binom n{k+1}.\qquad(1)$$

tj.

$$\begin{aligned}2\frac{n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k}&=\frac{n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+2)}{1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot(k-1)}\\&\quad+\frac{n(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k)}{1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot(k+1)}.\end{aligned}$$

Nakon sređivanja dobivamo kvadratnu jednadžbu po $n$:

$$2\cdot\frac{n-k+1}k=1+\frac{(n-k+1)(n-k)}{k(k+1)},$$ $$n^2-(4k+1)n+4k^2-2=0.$$

Rješenja ove jednadžbe su:

$$n_{1,2}=\frac{4k+1\pm\sqrt{8k+9}}2.\qquad(2)$$

Da bi rješenja $n_1$ i $n_2$ bila prirodni brojevi, nužno je da izraz pod korijenom bude kvadrat neparnog prirodnog broja.

Stavimo li stoga $8k+9=(2m+1)^2$ dobivamo da je $2k=m^2+m-2$, a zatim iz (2) za rješenja $n_1$ i $n_2$ imamo:

$$\begin{aligned}n_1&=m^2+2m-1=(m+1)^2-2,\\n_2&=m^2-2.\end{aligned}$$

Na temelju tih prikaza zaključujemo da su svi traženi prirodni brojevi $n$, koji zbog (1) moraju još zadovoljavati uvjet $n\ge k+1$, oblika

$$n=m^2-2,\quad m=3,4,5,\ldots.$$

(Jasno je da zbog simetrije binomnih koeficijenata za svaki takav $n$ postoje u odgovarajućem razvoju dva mjesta gdje se ostvaruje polazni zahtjev o aritmetičkom nizu.)