2. Zadatak

a) Pretpostavimo da su $a$ i $b$ dva prirodna broja čija je razlika kvadrata jednaka 987654, tj. $a^2-b^2=987654$. Tada vrijedi

$$(a-b)(a+b)=987654.$$

Broj 987654 je paran, pa barem jedan od faktora $a-b$ i $a+b$ mora biti djeljiv s 2. Budući da je $a+b=(a-b)+2b$, slijedi da faktori $a-b$ i $a+b$ daju isti ostatak pri dijeljenju s 2, tj. da su oba djeljiva s 2. Zaključujemo da 4 dijeli $(a-b)(a+b)$, što je nemoguće jer 987654 nije djeljiv s 4.

b) Pretpostavimo sad da su $a$ i $b$ dva prirodna broja čija je razlika kubova jednaka 987654, tj. $a^3-b^3=987654$. Tada je

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=987654.$$

Broj 987654 je djeljiv s 3, pa barem jedan od faktora $a-b$ i $a^2+ab+b^2$ mora biti djeljiv s 3. Budući da je

$$a^2+ab+b^2=(a-b)^2+3ab$$

i barem jedan od brojeva $a-b$ i $a^2+ab+b^2$ djeljiv s 3, zaključujemo da oba faktora moraju biti djeljiva s 3. Zaključujemo da je $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ djeljivo s 9, što je nemoguće jer 987654 nije djeljiv s 9.