3. Zadatak

Uočimo da zadani izraz možemo transformirati na sljedeći način:

$$\begin{aligned} a^2+5b^2+8c^2-4ab-4bc-8c+24 &= (a^2-4ab+4b^2)+b^2+8c^2-4bc-8c+24\\ &= (a-2b)^2+b^2+8c^2-4bc-8c+24\\ &= (a-2b)^2+(b^2-4bc+4c^2)+(4c^2-8c+4)+20\\ &= (a-2b)^2+(b-2c)^2+(2c-2)^2+20. \end{aligned}$$

Zbog $(a-2b)^2\ge0$, $(b-2c)^2\ge0$ i $(2c-2)^2\ge0$ slijedi

$$(a-2b)^2+(b-2c)^2+(2c-2)^2+20\ge20,$$

što znači da je najmanja moguća vrijednost zadanog izraza 20. Izraz poprima vrijednost 20 u slučaju da su svi kvadrati jednaki nuli, odnosno

$$a-2b=b-2c=2c-2=0,$$

iz čega lako slijedi da je $a=4$, $b=2$ i $c=1$.