4. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $\beta=\angle ABC$. Tada je $\angle BAC=2\beta$. Neka je točka $E$ na produžetku stranice $AB$ preko vrha $A$ takva da je $|AE|=|AC|$.

Budući da je kut $\angle CAE=180^\circ-2\beta$ i $|AE|=|AC|$, zaključujemo da je $\angle AEC=\beta$. Dakle, $\angle AEC=\angle ABC$, tj. $|CE|=|BC|$.

Budući da je $CD$ simetrala kuta $\angle ACB$ vrijedi

$$\angle ACD=\frac{180^\circ-\angle ABC-\angle BAC}{2}=\frac{180^\circ-3\beta}{2}=90^\circ-\frac32\beta.$$

U trokutu $CED$ vrijedi

$$\angle ECD=\angle ECA+\angle ACD=\beta+90^\circ-\frac32\beta=90^\circ-\frac12\beta$$

i

$$\angle CDE=180^\circ-\angle DEC-\angle ECD=180^\circ-\beta-90^\circ+\frac12\beta=90^\circ-\frac12\beta.$$

Dakle, $\angle ECD=\angle CDE$, tj. $|CE|=|DE|$. Povežemo li sve dosadašnje zaključke dobivamo

$$|BC|=|CE|=|DE|=|AD|+|AE|=|AD|+|AC|.$$

Drugo rješenje.

Neka je $\beta=\angle ABC$. Tada je $\angle BAC=2\beta$. Neka je točka $F$ na produžetku stranice $AC$ preko vrha $A$ takva da je $|AF|=|AD|$.

Budući da je kut $\angle BAF=180^\circ-2\beta$ i $|AF|=|AD|$, zaključujemo da je $\angle DFA=\beta=\angle ABC$.

Budući da je $CD$ simetrala kuta $\angle ACB$ imamo $\angle FCD=\angle ACD=\angle DCB$, a budući da je $CD$ zajednička stranica trokuta $CFD$ i $CBD$, prema K–S–K teoremu o sukladnosti zaključujemo da su ti trokuti sukladni. Iz sukladnosti slijedi $|FC|=|BC|$. Povežemo li sve dosadašnje zaključke dobivamo

$$|BC|=|FC|=|AF|+|AC|=|AD|+|AC|.$$

Treće rješenje.

Neka je točka $G$ na stranici $BC$ takva da je $|AC|=|CG|$.

Budući da je $CD$ simetrala kuta $\angle ACG$ slijedi da je točka $G$ osnosimetrična točki $A$ obzirom na pravac $CD$, tj. trokuti $ADC$ i $GDC$ su sukladni. Zbog toga je $|AD|=|GD|$. Također vrijedi

$$\angle CGD=\angle DAC=2\angle ABC.$$

Budući da je $\angle CGD$ vanjski kut u trokutu $BGD$, slijedi

$$\angle BDG=\angle DGC-\angle DBG=2\angle ABC-\angle ABC=\angle ABC.$$

To znači da je $|GD|=|GB|$. Povežemo li sve dosadašnje zaključke dobivamo

$$|BC|=|BG|+|GC|=|GD|+|GC|=|AD|+|AC|.$$