1. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $a$ i $b$ duljine kateta, a $c$ duljina hipotenuze zadanog trokuta. Kako je $a+b+c=18$, vrijedi

$$(a+b)^2=(18-c)^2=18^2-36c+c^2.$$

Zadani trokut je pravokutan, pa prema Pitagorinom poučku vrijedi $a^2+b^2=c^2$. Slijedi

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=c^2+2ab.$$

Budući da smo $(a+b)^2$ izrazili na dva načina, izjednačavanjem dobivamo

$$2ab=18^2-36c.$$

Kako je površina trokuta jednaka 9, vrijedi $ab=18$. Zaključujemo da je

$$36=2ab=18^2-36c.$$

Odavde je $c=8$.

Drugo rješenje.

Neka su $a$ i $b$ duljine kateta, a $c$ duljina hipotenuze zadanog trokuta. Zadani trokut je pravokutan, pa prema Pitagorinom poučku vrijedi $a^2+b^2=c^2$. Kako je $a+b+c=18$, vrijedi

$$a^2+b^2=c^2=(18-a-b)^2.$$

Nakon kvadriranja dobivamo

$$a^2+b^2=18^2+a^2+b^2-36a-36b+2ab,$$

tj.

$$18^2+2ab=36(a+b)=36(18-c).$$

Kako je površina trokuta jednaka 9, vrijedi $ab=18$. Zaključujemo da je

$$18^2+36=36(18-c).$$

Odavde je $c=8$.

Treće rješenje.

Neka su $a$ i $b$ duljine kateta, $c$ duljina hipotenuze, a $r$ polumjer upisane kružnice zadanog trokuta. Prema formuli za površinu trokuta

$$P=r\cdot\frac{a+b+c}{2}$$

slijedi da je

$$9=r\cdot\frac{18}{2},$$

tj. $r=1$. Za polumjer upisane kružnice u pravokutnom trokutu vrijedi

$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$

Budući da je $a+b+c=18$, tj. $a+b=18-c$, slijedi

$$c=a+b-2r=18-c-2r=18-c-2=16-c.$$

Dakle, $c=8$.

Budući da su duljine odsječaka tangenti iz točke na kružnicu jednake vrijedi. Neka su $A$, $B$ i $C$ vrhovi, a $D$, $E$ i $F$ dirališta upisane kružnice sa stranicama zadanog trokuta.

Tada je

$$c=|AF|+|FB|=|AE|+|DB|=(a-r)+(b-r)=a+b-2r.$$