3. Zadatak

Ako je $n=3$ tvrdnja je trivijalna.

Neka je $n\ge4$. Svaki konveksni $n$-terokut ima barem jedan unutrašnji kut koji nije manji od $90^\circ$.

Naime, suma unutrašnjih kutova $n$-terokuta je $(n-2)\cdot180^\circ$ pa postoji barem jedan kut koji nije manji od $\frac{n-2}n\cdot180^\circ=\left(1-\frac2n\right)\cdot180^\circ\ge\left(1-\frac12\right)\cdot180^\circ=90^\circ$.

Neka je to kut $\angle XYZ$. Tada možemo reducirati dani $n$-terokut na $(n-1)$-terokut spajanjem vrhova $X$ i $Z$, tj. odbacivanjem trokuta $XYZ$.

Tvrdimo da suma kvadrata duljina stranica novonastalog $(n-1)$-terokuta nije manja od sume kvadrata duljina stranica polaznog $n$-terokuta.

Naime, budući da je kut pri vrhu $Y$ pravi ili tupi, iz teorema o kosinusu dobivamo: $$|XZ|^2=|XY|^2+|YZ|^2-2|XY||YZ|\underbrace{\cos(\angle XYZ)}_{\le0}\ge|XY|^2+|YZ|^2.$$

Postupak nastavljamo na isti način s novonastalim mnogokutom, izbacujući svaki put po jedan vrh, sve dok ne dođemo do nekog trokuta $ABC$. Njegovi vrhovi $A,B,C$ zadovoljavaju nejednakost iz zadatka.

Napomena. Uvjet da je $n$-terokut upisan u kružnicu nije nužan, dovoljno je npr. da promatrani $n$-terokut bude konveksan.