5. Zadatak

Prvo rješenje.

Razvijemo li izraz $(1+i\sqrt3)^{2010}$ po binomnom poučku dobivamo $$(1+i\sqrt3)^{2010}=\sum_{k=0}^{2010}(i\sqrt3)^k\binom{2010}k.$$

Sumu možemo rastaviti po parnim i neparnim indeksima: $$(1+i\sqrt3)^{2010}=\sum_{k=0}^{1005}(-3)^k\binom{2010}{2k}+i\sqrt3\sum_{k=0}^{1004}(-3)^k\binom{2010}{2k+1}.$$

Odavde vidimo da je tražena suma zapravo realni dio broja $z=(1+i\sqrt3)^{2010}$.

Budući da je $1+i\sqrt3=2\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right)$, slijedi $$\begin{aligned} z&=2^{2010}\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right)^{2010}\\ &=2^{2010}\underbrace{\left(\cos\frac{2010\pi}3+i\sin\frac{2010\pi}3\right)}_{=1+i\cdot0}=2^{2010}. \end{aligned}$$

Dakle $z$ je realni broj, a njegov realni dio (tj. tražena suma) je upravo $2^{2010}$.

Drugo rješenje.

Razvijemo li izraze $(1+i\sqrt3)^{2010}$ i $(1-i\sqrt3)^{2010}$ po binomnom poučku dobivamo $$(1-i\sqrt3)^{2010}=\sum_{k=0}^{2010}(-i\sqrt3)^k\binom{2010}k.$$ $$(1+i\sqrt3)^{2010}=\sum_{k=0}^{2010}(i\sqrt3)^k\binom{2010}k.$$

Zbrajanjem tih dviju jednakosti pribrojnici s neparnim indeksom u sumi se poništavaju i dobivamo $$(1-i\sqrt3)^{2010}+(1+i\sqrt3)^{2010}=2\sum_{k=0}^{1005}(-3)^k\binom{2010}{2k}.$$

Tražena suma iznosi $$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{1005}(-3)^k\binom{2010}{2k}&=\frac12\left[(1-i\sqrt3)^{2010}+(1+i\sqrt3)^{2010}\right]\\ &=\frac12\Bigg[2^{2010}\left(\cos\frac{-\pi}3+i\sin\frac{-\pi}3\right)^{2010}\\ &\qquad+2^{2010}\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right)^{2010}\Bigg]\\ &=\frac12\Bigg[2^{2010}\left(\cos\frac{-2010\pi}3+i\sin\frac{-2010\pi}3\right)\\ &\qquad+2^{2010}\left(\cos\frac{2010\pi}3+i\sin\frac{2010\pi}3\right)\Bigg]\\ &=\frac12\left[2^{2010}(1+i\cdot0)+2^{2010}(1+i\cdot0)\right]\\ &=\frac12\left(2^{2010}+2^{2010}\right)=2^{2010}. \end{aligned}$$