2. Zadatak

Prvo rješenje.

Primjetimo da $m$ ne može biti negativni cijeli broj jer tada lijeva strana jednadžbe ne bi bila cijeli broj.

Ako je $m=0$ onda je $n=\pm2$.

Neka je $m>0$. Ako je $(m,n)$ rješenje onda je i $(m,-n)$ rješenje pa ćemo najprije pronaći rješenja za koja je $n\ge0$.

Danu jednadžbu možemo pisati u obliku $$(n-1)(n+1)=3\cdot2^m.$$

Brojevi $n-1$ i $n+1$ su iste parnosti pa oba moraju biti parna. Osim toga, kako je $n\ge0$, oba moraju biti pozitivna.

Zato imamo dvije mogućnosti:

1. slučaj: $n-1=2^k$, $n+1=3\cdot2^l$, pri čemu je $k,l\ge1$, $k+l=m$.

Imamo $2=(n+1)-(n-1)=3\cdot2^l-2^k=2\cdot(3\cdot2^{l-1}-2^{k-1})$.

Izraz u zagradi jednak je 1, dakle neparan, a to je moguće samo ako je $l=1$ ili $k=1$.

Ako je $l=1$, slijedi $3-2^{k-1}=1$, dakle $k=2$ i dalje $m=3,n=5$.

Ako je $k=1$, imamo $3\cdot2^{l-1}-1=1$, a to je nemoguće.

2. slučaj: $n-1=3\cdot2^k$, $n+1=2^l$, pri čemu je $k,l\ge1$, $k+l=m$.

Sada je $2=(n+1)-(n-1)=2^l-3\cdot2^k=2\cdot(2^{l-1}-3\cdot2^{k-1})$.

Izraz u zagradi jednak je 1, dakle neparan, a to je moguće samo ako je $l=1$ ili $k=1$.

Ako je $l=1$, slijedi $1-3\cdot2^{k-1}=1$, a to je nemoguće.

Ako je $k=1$, slijedi $2^{l-1}-3=1$, dakle $l=3$ i dalje $m=4,n=7$.

Sva rješenja su $(m,n)\in\{(0,2),(0,-2),(4,7),(4,-7),(3,5),(3,-5)\}$.

Drugo rješenje.

Primjetimo da $m$ ne može biti negativni cijeli broj jer tada lijeva strana jednadžbe ne bi bila cijeli broj.

Nadalje, ako je $(m,n)$ rješenje onda je i $(m,-n)$ rješenje pa ćemo najprije pronaći rješenja za koja je $n\ge0$.

Budući da lijeva strana nije djeljiva s 3 zaključujemo da $n$ nije djeljiv s 3.

Razlikujemo dva slučaja.

1. slučaj: Neka je $n=3k+1$.

Tada je $2^m=k(3k+2)$ te su $k$ i $3k+2$ potencije broja 2.

Ako je $k=1$ onda nema rješenja (jer ne postoji $m$ takav da je $2^m=5$), a ako je $k=2$ dobivamo $n=7,m=4$.

Za $k>2$ nema rješenja jer je $4k>3k+2>2k$ pa bi činjenica da je $k=2^p$ potencija broja 2 bila u kontradikciji s činjenicom da je $3k+1$ potencija broja 2, jer bismo imali $2^{p+2}>3k+1>2^{p+1}$.

2. slučaj: Neka je $n=3k+2$.

Tada je $2^m=(3k+1)(k+1)$ te su $k+1$ i $3k+1$ potencije broja 2.

Za $k=0$ dobivamo $m=0$ i tada je $n=2$. Za $k=1$ dobivamo rješenje $m=3,n=5$.

Za $k>1$ nema rješenja jer je $4(k+1)>3k+1>2(k+1)$ pa bi činjenica da je $k+1=2^p$ potencija broja 2 bila u kontradikciji s činjenicom da je $3k+1$ potencija broja 2, jer bismo imali $2^{p+2}>3k+1>2^{p+1}$.

Sva rješenja su $(m,n)\in\{(0,2),(0,-2),(4,7),(4,-7),(3,5),(3,-5)\}$.

Napomena: Nepostojanje rješenja za veće $k$ može se pokazati i na sljedeći način:

1. slučaj: $M(3k+2,k)=M(2,k)$, a to je 1 ili 2, pa mora biti $k=1$ ili $k=2$.

2. slučaj: $M(3k+1,k+1)=M(2k,k+1)=M(k-1,k+1)=M(k+1,2)$, što iznosi 1 ili 2, pa mora biti $k+1=1$ ili $k+1=2$, odnosno $k=0$ ili $k=1$.