1. Zadatak

Označimo koordinate točaka $A,B,C$ redom s $\left(\frac{y_A^2}{2p},y_A\right)$, $\left(\frac{y_B^2}{2p},y_B\right)$, $\left(\frac{y_C^2}{2p},y_C\right)$.

Budući da pravci $AB$ i $BC$ zatvaraju sukladne kutove s $x$-osi, slijedi da su koeficijenti smjera tih pravaca suprotni.

Raspisivanjem uvjeta $k_{AB}=-k_{BC}$ dobivamo: $$\frac{y_A-y_B}{\frac{y_A^2}{2p}-\frac{y_B^2}{2p}}=-\frac{y_B-y_C}{\frac{y_B^2}{2p}-\frac{y_C^2}{2p}},$$ odnosno $\frac{y_A-y_B}{y_A^2-y_B^2}=-\frac{y_B-y_C}{y_B^2-y_C^2}$.

Primjenom formule za razliku kvadrata dobivamo $y_A+y_B=-(y_B+y_C)$ pa vrijedi $$y_A+2y_B+y_C=0.\qquad(*)$$

Uvjet ”duljina projekcije dužine $\overline{AC}$ na $y$-os iznosi $4p$”, zbog $y_A>y_C$, može se zapisati u obliku $$y_A-y_C=4p.\qquad(**)$$

Oduzimanjem $(**)$ od $(*)$ dobit ćemo $2y_B+2y_C=-4p$.

Dakle, ordinata polovišta $P$ dužine $\overline{BC}$ je $y_P=\frac{y_B+y_C}2=-p$.