7. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo da se može dogoditi da na kraju turnira svaka ekipa osim posljednje ima točno dva boda više od sljedeće.

Svaka od pet ekipa je odigrala četiri utakmice, pri čemu u jednoj utakmici sudjeluju dvije ekipe. Slijedi da je ukupno odigrano $\frac{5\cdot4}{2}=10$ utakmica.

Ako je broj bodova posljednje ekipe bio $x$, onda je zbroj bodova svih ekipa

$$x+(x+2)+(x+4)+(x+6)+(x+8)=20+5x.$$

S druge strane, broj bodova u deset utakmica je najmanje $20$, a najviše $30$, pa $x$ može biti $0$, $1$ ili $2$.

Ako je $x=0$, ukupan broj bodova je $20$, što znači da su sve utakmice završile neriješenim rezultatom. No, u tom bi slučaju sve ekipe imale isti broj bodova.

Ako je $x=2$, ukupan broj bodova je $30$, što znači da su sve utakmice završile pobjedom jedne ekipe i porazom druge. No, u tom bi slučaju broj bodova svake ekipe bio djeljiv s $3$, što nije istina jer posljednja ekipa ima $2$ boda.

Preostaje nam slučaj kada je $x=1$. Tada ekipe imaju redom $9$, $7$, $5$, $3$ i $1$ bod.

Odredimo koliko je poraza i pobjeda pojedina ekipa ostvarila. Prvoplasirana ekipa ima $3$ pobjede i $1$ poraz jer je $9=3+3+3+0$. Druga ekipa ima $2$ pobjede, $1$ poraz i $1$ neriješenu utakmicu jer je $7=3+3+1+0$. Treća ekipa ima $1$ pobjedu, $2$ neriješene utakmice i $1$ poraz jer je $5=3+1+1+0$.

Ukupan broj bodova je $25$, što znači da je točno $5$ utakmica završilo neriješeno, a $5$ utakmica pobjedom jedne ekipe i porazom druge. No, iz gornjeg razmatranja vidimo da su prve tri ekipe ostvarile $6$ pobjeda, što daje kontradikciju.

Zaključujemo da nije moguće da na kraju turnira, u ukupnom poretku, svaka ekipa osim posljednje ima točno dva boda više od sljedeće.

Drugo rješenje.

Pretpostavimo da se može dogoditi da na kraju turnira svaka ekipa osim posljednje ima točno dva boda više od sljedeće. Nazovimo ekipe redom $A$, $B$, $C$, $D$ i $E$, krenuvši od ekipe koja ima najviše bodova prema ekipi koja ima najmanje bodova.

Ako ekipa $E$ ima $0$ bodova, onda je ta ekipa izgubila utakmicu protiv ekipe $D$. Dakle, ekipa $D$ bi trebala imati barem $3$ boda, pa razlika između ekipa $D$ i $E$ ne može biti točno dva boda.

Ako ekipa $E$ ima $1$ bod, onda ekipe $D$, $C$, $B$ i $A$ imaju redom $3$, $5$, $7$ i $9$ bodova.

Ekipa $D$ ima $3$ boda. Ako je ekipa $D$ pobijedila bilo koju od ekipa $A$, $B$ ili $C$, onda bi morala izgubiti od ekipe $E$, što je nemoguće jer $E$ ima samo $1$ bod. Dakle, ekipa $D$ je pobijedila ekipu $E$ i izgubila sve ostale utakmice ili ima jedan poraz i tri neriješene utakmice.

Ako je ekipa $D$ pobijedila ekipu $E$, onda je $D$ izgubila od $A$, $B$ i $C$. To znači da je $C$ pobijedila $D$ i u ostale tri utakmice $C$ ima jedan poraz i dva neriješena. Ekipa $A$ je morala imati tri pobjede i jedan poraz, pa slijedi da je $A$ pobijedila $C$ i izgubila od $B$, te da je $C$ igrala neriješeno s $B$ i $E$. Ovime smo zaključili da je $B$ pobijedila ekipe $A$ i $D$ i igrala neriješeno s $C$, što joj donosi $7$ bodova. To znači da je $B$ trebala izgubiti od $E$, što nije moguće.

Preostala je mogućnost da je ekipa $D$ igrala neriješeno s ekipama $B$, $C$ i $E$, te izgubila od $A$ (jer $A$ ima tri pobjede i jedan poraz, a nema neriješenih utakmica). Tada je ekipa $E$ izgubila od $A$, $B$ i $C$. Dakle, ekipa $C$ je pobijedila ekipu $E$ i igrala neriješeno s ekipom $D$, čime je ostvarila $4$ od ukupno $5$ bodova. Dakle, $C$ je morala izgubiti od ekipe $A$ (jer $A$ nema neriješenih utakmica) i igrati neriješeno s ekipom $B$. Ovime smo zaključili da je ekipa $B$ pobijedila $E$ i igrala neriješeno s $C$ i $D$, što joj donosi $5$ bodova. No, budući da u utakmici s ekipom $A$ ne može osvojiti $2$ boda, slijedi da je nemoguće da $B$ ima $7$ bodova.

Ako ekipa $E$ ima $2$ boda, onda ekipe $D$, $C$, $B$ i $A$ imaju redom $4$, $6$, $8$ i $10$ bodova.

Ekipa $A$ može imati $10$ bodova samo ako je u tri utakmice pobijedila i jednu igrala neriješeno. Ekipa $B$ može imati $8$ bodova samo ako je u dvije utakmice pobijedila i u dvije igrala neriješeno. Dakle, ekipe $A$ i $B$ su obje neporažene, pa su one odigrale neriješeno i $A$ je pobijedila sve ostale ekipe.

Ekipa $C$ je izgubila od ekipe $A$, pa $6$ bodova u preostale tri utakmice može ostvariti samo uz dvije pobjede i jedan poraz. Budući da ekipa $B$ nema poraza, to povlači da je $C$ pobijedila $D$ i $E$, te izgubila od $B$. Ekipa $D$ je izgubila od ekipa $A$ i $C$, pa bi $4$ boda trebala ostvariti protiv $B$ i $E$. Budući da $B$ nije poražena, slijedi da je $D$ igrala neriješeno protiv $B$ i pobijedila $E$. Ovime smo zaključili da je ekipa $E$ izgubila od ekipa $A$, $C$ i $D$. No, budući da u utakmici s ekipom $B$ ne može osvojiti $2$ boda, nemoguće je da $E$ ima $2$ boda.

Ako ekipa $E$ ima $3$ boda, onda bi pobjednička ekipa imala $11$ bodova. To je broj koji je nemoguće dobiti kao zbroj četiri broja iz skupa $\{0,1,3\}$. Dakle, taj slučaj je nemoguć.

Ako ekipa $E$ ima $4$ boda, onda bi ekipa $A$ imala $12$ bodova, što znači da je pobijedila u svim utakmicama. Ekipa $B$ bi imala $10$ bodova, što je moguće jedino ako bi u tri utakmice pobijedila i jednu odigrala neriješeno. No, to također nije moguće jer onda ne bi izgubila utakmicu od ekipe $A$.

Nadalje, ekipa $E$ ne može imati više od $4$ boda jer bi onda ekipa $A$ imala više od $12$ bodova, što je nemoguće ostvariti u samo četiri utakmice.

Budući da svi slučajevi vode na kontradikciju, nije moguće da na kraju turnira, u ukupnom poretku, svaka ekipa osim posljednje ima točno dva boda više od sljedeće.