6. Zadatak

Prvo rješenje.

Pretpostavimo da postoji prirodni broj $m$ takav da je

$$n^2+2n+2015=m^2.$$

Ako je $n$ neparan, onda $m$ mora biti paran. Budući da je $n$ neparan, onda $n^2$ daje ostatak $1$ pri dijeljenju sa $4$ (ako je $n=2k+1$, onda je $n^2=4k^2+4k+1$). Broj $2n$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju sa $4$, pa $n^2+2n+2015$ daje ostatak $2$. S druge strane, $m^2$ je djeljiv sa $4$, pa dobivamo kontradikciju.

Ako je $n$ paran, onda $m$ mora biti neparan. Budući da je $n$ paran, onda su $n^2$ i $2n$ djeljivi sa $4$. Zato $n^2+2n+2015$ daje ostatak $3$ pri dijeljenju sa $4$. S druge strane, $m$ je neparan, pa $m^2$ daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $4$. Dakle, i u ovom slučaju dolazimo do kontradikcije.

Ne postoji prirodni broj $n$ takav da je $n^2+2n+2015$ potpun kvadrat.

Drugo rješenje.

Pretpostavimo da postoji prirodni broj $m$ takav da je

$$n^2+2n+2015=m^2.$$

Tada je

$$(n+1)^2+2014=m^2.$$

Zapišemo li jednakost na način

$$m^2-(n+1)^2=2014,$$

onda lijevu stranu jednakosti možemo faktorizirati i dobivamo

$$(m+(n+1))(m-(n+1))=2014.$$

Brojevi $m+(n+1)$ i $m-(n+1)$ su iste parnosti, pa njihov umnožak mora biti ili neparan ili djeljiv s $4$, a $2014$ je paran broj koji nije djeljiv s $4$. Zato ne postoje takvi prirodni brojevi $m$ i $n$.