5. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo $\gamma=\angle ACB$. Neka je $N$ nožište visine iz vrha $C$.

Prema uvjetu zadatka je

$$\angle BCN=\frac{\gamma}{2}-10^\circ.$$

Trokut $BCN$ je pravokutan, pa je

$$\angle CBN=90^\circ-\left(\frac{\gamma}{2}-10^\circ\right)=100^\circ-\frac{\gamma}{2}.$$

U trokutu $ABC$ vrijedi

$$\angle CAB=180^\circ-\gamma-\left(100^\circ-\frac{\gamma}{2}\right)=80^\circ-\frac{\gamma}{2}.$$

Budući da je $I$ središte upisane kružnice, pravci $AI$ i $BI$ su simetrale kutova $\angle BAC$ i $\angle ABC$, redom. Odavde slijedi da je

$$\angle BAI=40^\circ-\frac{\gamma}{4},\qquad \angle ABI=50^\circ-\frac{\gamma}{4}.$$

Iz zbroja kutova u trokutu $ABI$ slijedi

$$40^\circ-\frac{\gamma}{4}+50^\circ-\frac{\gamma}{4}+120^\circ=180^\circ,$$

odakle je $\gamma=60^\circ$.

Konačno je

$$\angle CBA=100^\circ-\frac{\gamma}{2}=70^\circ,\qquad \angle BAC=80^\circ-\frac{\gamma}{2}=50^\circ.$$

Drugo rješenje.

Označimo $x=\angle BAI$ i $y=\angle ABI$. Tada je $x+y=180^\circ-120^\circ=60^\circ$.

Neka je $N$ nožište visine iz vrha $C$.

Budući da je $AI$ simetrala kuta $\angle BAC$, slijedi da je $\angle BAC=2x$. Zato u pravokutnom trokutu $ANC$ dobivamo

$$\angle ACN=90^\circ-2x.$$

Analogno, $\angle ABC=2y$ i $\angle BCN=90^\circ-2y$.

Simetrala kuta iz vrha $C$ je pravac $CI$, pa prema uvjetu zadatka vrijedi $\angle NCI=10^\circ$.

Slijedi da je

$$\angle ACI=\angle ACN-\angle NCI=90^\circ-2x-10^\circ=80^\circ-2x,$$

te da je

$$\angle BCI=\angle BCN+\angle NCI=90^\circ-2y+10^\circ=100^\circ-2y.$$

Dakle, $80^\circ-2x=100^\circ-2y$, pa dobivamo drugu jednadžbu $y-x=10^\circ$.

Rješavanje sustava jednadžbi $x+y=60^\circ$ i $y-x=10^\circ$ daje $x=25^\circ$ i $y=35^\circ$. Slijedi da je

$$\angle CBA=2y=70^\circ,\qquad \angle BAC=2x=50^\circ,\qquad \angle ACB=60^\circ.$$